Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
In diesem Kapitel werden wir die singuläre Auflösung einer einfach zusammenhängenden
Chevalley-Gruppe G(Φ) (Abschnitt 6.1) und ihrer Steinberg-Gruppe St(Φ)
(Abschnitt 6.2) untersuchen. Unter der Regularitätsvoraussetzung Vermutung 6.22
aus Abschnitt 6.3 ist die singuläre Auflösung von St(Φ, k) ↠ G(Φ, k) eine simpliziale
Überlagerung, von der wir zeigen, dass es sich um die universelle Überlagerung handelt
und dass daher der Kern des Überlagerungshomomorphismus über den Liftungshomomorphismus
isomorph zum punktierten Schleifenraum der singulären Auflösung von
G(Φ, k) ist.
Dann konstruieren wir in Analogie zum Lemma von Whitehead (Abschnitt 6.4)
in Abschnitt 6.5 ein System von Pfaden H α t (s) von der Identität in G(Φ, k) zu
Toruselementen h α (s) für s ∈ k × , welches erlaubt, Produkte dieser H α t (s) zu bilden,
welche Schleifen sind. Wir rechnen in Abschnitt 6.6 Eigenschaften der somit explizit
definierten Schleifen nach.
In Abschnitt 6.7 definieren wir unter Zuhilfenahme der Matsumoto-Präsentation
einen Homomorphismus von der zweiten K-Theorie in den punktierten Schleifenraum
der singulären Auflösung von G(Φ, k) und zeigen, dass dies ein Isomorphismus
auf die Fundamentalgruppe ist, indem wir zeigen, dass diese Abbildung invers zum
Liftungsisomorphismus ist.
6.1. Singuläre Auflösung von algebraischen Gruppen
Wir werden nun einen Funktor Sing A1
• definieren, der jeder linear algebraischen Gruppe
eine simpliziale Gruppe zuordnet, deren Homotopietheorie wir danach untersuchen
wollen. Tatsächlich definieren wir Sing A1
• nicht nur für beliebige k-Schemata sondern
für Prägarben auf k-Schemata, da dies keine zusätzliche Mühe bereitet.
Definition 6.1. Sei das simpliziale Objekt Z[ ˜∆ • ] in den kommutativen Ringen mit 1
gegeben durch
Z[ ˜∆
/ ( )
n∑
n ] := Z[t 0 , . . . , t n ] t i − 1
mit den Randabbildungen
/ ( ⎧
)
(
n∑
n−1
) ∑
⎪⎨ t j j < i,
d i : Z[t 0 , . . . , t n ] t j − 1 → Z[t 0 , . . . , t n−1 ]/ t j − 1 , t j ↦→ 0 j = i,
j=0
j=0
⎪⎩
j > i
und den Entartungsabbildungen
/ ( ⎧
)
(
n∑
n+1
) ∑
⎪⎨ t i i < j,
s j : Z[t 0 , . . . , t n ] t i − 1 → Z[t 0 , . . . , t n+1 ]/ t i − 1 , t i ↦→ t i + t i+1 i = j,
i=0
i=0
⎪⎩
t i+1 i > j.
i=0
t j−1
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