Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.5. Ausgezeichnete Schleifen
Für t = 0 und a ∈ R × ergibt sich
Für t = 1 und a ∈ R × ergibt sich
H(a, 0) = x + (0)x − (0)x + (0)x − (0)x + (0) = Id .
H(a, 1) = x + (a)x − (−a −1 )x + (a − 1)x − (1)x + (−1) = h(a).
Zuletzt wollen wir für s = 1 und t beliebig berechnen
H(1, t) = x + (t)x − (−t)x + (0)x − (t)x + (−t) = x + (t)x − (0)x + (−t) = Id .
Beispiel 6.27. Für einen Ring R und s ∈ R × sieht die Matrix H t (s) := H(s, t) ∈
SL 2 (R[t]) konkret so aus:
( ) ( )
1 0 (1 − s)t (t
H t (s) = + 2 − 2)ts −(t 2 − 2)(t 2 − 1)s
0 1 s t 2 − 1 −(t 2 .
− 2)t
Dabei lassen sich die Faktoren (1 − s) und t leicht erklären, haben wir doch für s = 1
sowie t = 0 gefordert, dass H(s, t) = Id ist.
Korollar 6.28. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Die elementare Untergruppe
E(R) := lim E n (R) (die von Elementarmatrizen erzeugt wird) in GL(R) =
−→n
lim GL n(R) ist die Kommutatorgruppe, d.h.
−→n
[GL(R), GL(R)] = E(R).
Beweis. In GL lassen sich zwei Matrizen A, B vertauschen, indem man durch Multiplikation
mit Elementarmatrizen die Matrix
( ) AB 0
= (AB ⊕ Id)
0 Id
auf die Form
( ) A 0
= (A ⊕ Id) · (Id ⊕B) = (Id ⊕B) · (A ⊕ Id)
0 B
bringt. Dazu setzt man im Lemma von Whitehead für R den Matrizenring GL n (R)
ein, für n größer gleich der Summe der Größen von A und B. Zuletzt lässt sich mit
der selben Methode (B ⊕ Id) auf die Form (Id ⊕B) bringen, damit schließlich
(AB ⊕ Id) ∼ (Id ⊕B) · (A ⊕ Id) ∼ (B ⊕ Id) · (A ⊕ Id) = (BA ⊕ Id).
6.5. Ausgezeichnete Schleifen
Sei für den Rest der Arbeit G eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe mit
gewähltem Torus H, Wurzelsystem Φ, einfachen Wurzeln ∆ und Erzeugern x α . Die
universelle zentrale Erweiterung der elementaren Untergruppe von G(k) bezeichnen
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