Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.6. Relationen für ausgezeichnete Schleifen
Beweis. Wir rechnen mit Lemma 6.38:
(1) Wt α (v)W β
t (u)Wt α (v) −1
(2)
=Wt α (v)X β t (u)X −β
t (−u −1 )X β t (u)Wt α (v) −1
(3)
=Wt α (v)X β t (u)Wt α (v) −1 Wt α (v)X −β
t
(4)
(η(α, β)uv −βα∗ ) X σα(−β)
(5)
(6)
≈X σα(β)
t
=X σα(β)
t
(ηuv −βα∗ ) X −σα(β)
=W σα(β)
t (ηuv −βα∗ ).
t
t
(−u −1 )W α
t (v) −1 W α
t (v)X β t (u)W α
t (v) −1
(η(α, −β)(−u −1 )v −(−β)α∗ ) X σα(β)
t (η(α, β)uv −βα∗ )
(−(ηuv −βα∗ ) −1 ) X σα(β)
t (ηuv −βα∗ )
Dabei haben wir benutzt, dass η(α, β) = η(α, −β) ∈ {±1} und (−β)α ∗ = −βα ∗ ist.
Damit ist (a) gezeigt. Durch zweimaliges anwenden von (a) kommen wir auf (b):
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
H α t (v)W β
t (u)H α t (v) −1
=W α
t (v)W α
t (1) −1 W β
t (u)W α
t (1)W α
t (v) −1
=W α
t (v) W α
t (−1)W β
t (u)W α
t (−1) −1 W α
t (v) −1
≈Wt α (v) W σα(β)
t (ηu(−1) −βα∗ ) W α
t (v) −1
≈W σ2 α (β)
t (η(α, β)η(α, σ α (β))u(−1) −βα∗ v −σα(β)α∗ )
=W β
t (uv βα∗ ).
Dabei haben wir in der letzten Zeile benutzt, dass −σ α (β)α ∗ = βα ∗ ist. Daraus folgt
direkt Aussage (c):
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
H α t (v)H β t (u)H α t (v) −1
=H α t (v) W β
t (u)W β
t (1) −1 H α t (v) −1
=H α t (v)W β
t (u)H α t (v) H α t (v) −1 W β
t (−1)H α t (v) −1
≈W β
t (uv βα∗ ) W β
t (−v βα∗ )
=W β
t (uv βα∗ ) W β
t (1) −1 W β
t (1) W β
t (v βα∗ ) −1
=H β t (uv βα∗ ) H β t (v βα∗ ) −1 .
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