Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

A.5. Die Weylgruppen von A 1 , A 2 und C 2
A.5. Die Weylgruppen von A 1 , A 2 und C 2
Im Beweis des Satzes von Matsumoto wird eine explizite Beschreibung der Weylgruppen
der Wurzelsysteme A 1 , A 2 und C 2 benötigt, an der man die Bruhat-Länge der Elemente
ablesen kann.
Beispiel A.1. Wir berechnen nun für gewisse Wurzelsysteme Φ mit Wahl positiver
Wurzeln Φ + ⊂ Φ und einfacher Wurzeln ∆ ⊂ Φ + (wie in Abschnitt A.2) die Weylgruppe
W = W (Φ) über Satz 3.10 als W = 〈σ α : α ∈ ∆〉, wobei wir also hier mit σ α die
Spiegelung zur einfachen Wurzel α bezeichnen.
• Φ = A 1 , Φ + = {α}, ∆ = {α}
=⇒ W (A 1 ) = {id, σ α }.
• Φ = A 2 , Φ + = {α, β, α + β}, ∆ = {α, β}
=⇒ W (A 2 ) = {id, σ α , σ β , σ α σ β , σ β σ α , σ α σ β σ α }
wobei σ α σ β als positive Rotation um 120 ◦ operiert mit Inversem σ β σ α und
σ α σ β σ α = σ α+β = σ β σ α σ β ist.
• Φ = C 2 , Φ + = {α, β, α + β, 2α + β}, ∆ = {α, β}
=⇒ W (C 2 ) = {id, σ α , σ β , σ β σ α , σ α σ β , σ β σ α σ β , σ α σ β σ α , σ α σ β σ α σ β }
wobei σ β σ α als positive Rotation um 90 ◦ operiert mit Inversem σ α σ β . Das
Quadrat σ β σ α σ β σ α = σ α σ β σ α σ β operiert involutiv als Rotation um 180 ◦ . Des
Weiteren sind σ β σ α σ β = σ α+β und σ α σ β σ α = σ 2α+β involutive Elemente.
Im Hinblick auf die darauf folgende Proposition betrachten wir noch eine explizite
Rechnung.
Beispiel A.2. Wir betrachten alle Elemente der Weylgruppe W (Φ), welche für
α ≠ β ∈ ∆ die Wurzel β auf ±α abbilden:
• Φ = A 1 , dann gibt es kein β ≠ α, also auch kein σ ∈ W mit σ(β) = ±α.
• Φ = A 2 , dann bildet σ β σ α die Wurzel β auf +α ab, hingegen σ α σ β σ α auf −α.
Keine anderen Elemente von W bilden β auf ±α ab.
• Φ = C 2 , dann gibt es kein Element σ ∈ W mit σ(β) = ±α.
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