Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
( ) a 0
Lemma 6.25 (Whitehead). Sei R ein Ring mit 1 und a, b ∈ R × . Die Matrix ∈
0 b
GL 2 (R) lässt sich durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ( )(also Links- und
ab 0
Rechtsmultiplikation mit Elementarmatrizen) auf die Form bringen.
0 1
Beweis. Mit jeweils einer Spaltenumformung (also Rechtsmultiplikation mit einer
Elementarmatrix) pro :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a 0 a ab 0 ab 0 ab ab ab ab 0
.
0 b 0 b −1 b −1 1 0 1 0 1
Um direkt zu sehen, um welche Elementarmatrizen es sich handelt, wollen wir nun
Notation einführen.
( ) 1 a
x + (a) := ,
0 1
( ) 1 0
x − (a) := ,
a 1
( ) 0 a
w(a) :=
−a −1 = x
0 + (a)x − (−a −1 )x + (a),
( ) a 0
h(a) :=
0 a −1 = w(a)w(1) −1 .
Mit dieser glücklich gewählten Notation sehen wir sofort:
h(a) = x + (a)x − (−a −1 )x + (a − 1)x − (1)x + (−1),
ein Produkt von Elementarmatrizen, und
( ) a 0
h(b) =
0 b
( ) ab 0
.
0 1
Siehe dazu auch [Lam06, 1.§5].
Wir können diese Faktorisierung von h(a) in Elementarmatrizen nutzen, um eine
verwandte Aussage zu zeigen:
Lemma 6.26 (Whitehead’). Es gibt eine Matrix H(s, t) ∈ GL 2 (Z[s, s −1 , t]), die sich
als Produkt von Elementarmatrizen schreiben lässt, sodass für jeden kommutativen
Ring R mit 1 und jede Einheit a ∈ R × gilt:
H(a, 0) =
( ) 1 0
0 1
= Id, H(a, 1) =
( ) a 0
0 a −1 = h(a), H(1, t) =
Beweis. Wir konstruieren H(s, t) in SL(2, Z[s, s −1 , t]):
H(s, t) := x + (ts)x − (−ts −1 )x + (t(s − 1))x − (t)x + (−t).
( ) 1 0
= Id .
0 1
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