Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

denn nach (a) ist ρ −1
β
(λ −1
ερ β = ρ −1
β
ρ βε = ε und λ α ελ −1
α ∈ E. Damit ist nun
α ρ β λ α ρ −1 )ε(λ−1 α ρ β λ α ρ −1
β
β
)−1 =λ −1
4.3. Matsumotos Beweis
α ρ β λ α ρ −1
β
ερ βλ −1
α ρ −1
β
λ α
=λ −1
α ρ β ρ −1
β
λ αελ −1
α ρ β ρ −1
β
λ α
=λ −1
α λ α ελ −1
α λ α = ε.
Nun betrachten wir den Fall ε ∈ ρ(˜H)∪ρ(U + β
), dann ist mit einer analogen Überlegung
(ρ −1
β
λ α)ε(ρ −1 λ α) −1 = ρ −1
und wiederum analog erhalten wir daraus
β
(λ −1
β
ερ β = (λ α ρ −1
β
)ε(λ αρ −1
β )−1 ,
α ρ β λ α ρ −1
β
)ε(λ−1 α ρ β λ α ρ −1
β )−1 = ε.
Damit ist (c) gezeigt.
Wenn für ein s ∈ S die Voraussetzung von (d) erfüllt ist, so ist
λ α ρ −1
β
s = ρ−1λ
αs,
also folgt mit Lemma 4.29 (c) und Lemma 4.37 (a)
λ α ρ −1
β
β
λ αs = λ 2 αρ −1 s = ρ−1λ2
αs,
β
β
und damit sehen wir
ρ −1
β
λ αρ −1
β
s = ρ−2 β
λ αs = λ α ρ −2
β s,
λ −1
α ρ β λ α ρ −1 λ αs = λ −1
α ρ β ρ −1 λ2 αs = λ −1
α λ 2 αs = λ α s
β
β
bzw. analog
λ −1
α ρ β λ α ρ −1
β
ρ−1 β
s = λ−1 α ρ β ρ −2 λ αs = λ −1
womit schließlich auch (d) gezeigt wäre.
β
α ρ −1
β
Lemma 4.38. Für α, β ∈ ∆ kommutieren λ α und ρ β , d.h.
∀s ∈ S : λ α ρ β s = ρ β λ α s.
λ αs = λ −1
α λ α ρ −1 s = ρ−1s
Beweisanfang. Es genügt nach Lemma 4.37 (c), diese Aussage für s ∈ S 1 nachzurechnen,
wenn S 1 ein Repräsentantensystem der Bahnen der Gruppenoperation
von λ(U α + )λ(˜H)ρ(˜H)ρ(U + β
) auf S ist. Deshalb errechnen wir uns zunächst mit der
Bruhat-Zerlegung so ein Repräsentantensystem S 1 .
Sei σ ∈ W in reduzierter Darstellung gegeben als σ = ∏ m
i=1 s α i
mit m = l(σ). Wir
definieren
m∏
m∏
w(σ) := w αi (1) ∈ N, ˜w(σ) := ˜w αi (1) ∈ Ñ.
i=1
Da die w α (1) bzw. ˜w α (1) für α ∈ Φ nach Lemma 3.11 bzw. Lemma 4.23 und Lemma 4.26
i=1
β
β
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