Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
Morita [MR90] haben mit analogen Argumenten eine Matsumoto-Präsentation für
den Kern der universellen zentralen Erweiterung von Kac-Moody-Gruppen angegeben.
Hutchinson konnte in [Hut90] ohne Steinbergs Präsentation der Steinberggruppe
für n und k hinreichend groß die Matsumoto-Präsentation von H 2 (SL n (k), Z) sowie
die Stabilisierung H 2 (SL n (k), Z) −→ ∼ H 2 (SL n+1 (k), Z) beweisen durch Studium der
GL 2 (k)-Operation auf P 1 k .
4.3. Matsumotos Beweis
In diesem Kapitel wollen wir den Beweis der Existenzaussage in Satz 4.11 etwas
genauer studieren. Sämtliche Resultate und Beweise in diesem Kapitel gehen, sofern
nicht explizit anders angegeben, auf Matsumoto [Mat69] zurück. Das einzige, was diese
Ausarbeitung an Mehrwert bringt, sind ausführlichere Rechnungen und der Wegweiser
(Abbildung 10 auf S. 109). Die Notation ist nur sehr geringfügig verändert und nur
dann, wenn es das Verständnis erleichtert.
Es ist für die restliche Arbeit nicht nötig, dieses Kapitel zu lesen - allerdings liefert
diese eingehende Untersuchung die Motivation für die Beweisstrategie in Kapitel 6.
An den entsprechenden Stellen in Kapitel 6 wird dann auch noch einmal auf die
entsprechenden Teile des Beweises in diesem Kapitel verwiesen.
Wir beginnen mit der Reduktion des Problems auf gewisse Wurzelsysteme. Nach
Lemma 3.38 genügt es, die Aussage von Satz 4.11 für die Wurzelsysteme A n , C n ,
D n , E 6 , E 7 , E 8 zu beweisen, da die Kozykel einer Erweiterung nur von einer beliebig
gewählen langen Wurzel abhängen. Wir werden an der Stelle, an der wir dies verwenden,
noch einmal gesondert darauf hinweisen.
4.3.1. Rechenregeln für Lifts ˜x α , ˜h α , ˜w α und Kozykel c α
Ausgehend von Definition 4.1 und Lemma 4.4 werden wir nun einige Rechenregeln
sammeln, die sämtlich mit elementaren Rechnungen für zwei Wurzeln folgen.
Lemma 4.13 (Rechenregeln, Matsumoto, 5.2).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
˜w α (t) ˜w β (u) ˜w α (t) −1 = ˜w σα(β)(ηt −βα∗ u),
˜w α (t)˜h β (u) ˜w α (t) −1 = ˜h σα(β)(ηt −βα∗ u)˜h σα(β)(ηt −βα∗ ) −1 ,
˜hα (t)˜x β (u)˜h α (t) −1 = ˜x β (t βα∗ u),
[˜h α (t), ˜x α (u)] = ˜x α (u(t 2 − 1)),
˜hα (t) ˜w β (u)˜h α (t) −1 = ˜w β (t βα∗ u),
˜hα (t)˜h β (u)˜h α (t) −1 = ˜h β (t βα∗ u)˜h β (t βα∗ ) −1 ,
˜w α (1)˜h β (t) ˜w α (1) −1 = ˜h β (t)˜h α (t −αβ∗ ),
˜w α (t) = ˜w −α (−t −1 ),
˜hα (t) = ˜h −α (t) −1 ,
˜w α (1)˜h α (t) ˜w α (1) −1 = ˜h α (t −1 ),
˜w α (1) −1˜x α (t) ˜w α (1) = ˜x −α (−t) = ˜x α (−t −1 ) ˜w α (t −1 )˜x α (−t −1 ),
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