Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5.4. Fasersequenzen
wenn die Faser ϕ −1 (e) über dem Basispunkt e ∈ H 0 diskret, also simplizial konstant
ist. Sind G • und H • simpliziale Gruppen, so ist diese Faser der Kern von ϕ und trägt
eine natürliche Gruppenstruktur.
Definition 5.34. Eine Überlagerung f : Y • → X • heißt universelle Überlagerung,
wenn Y • eine 1-zusammenhängende simpliziale Menge ist.
Definition 5.35. Sei f : Y • → X • ein den Basispunkt erhaltender simplizialer
Morphismus von simplizialen Mengen mit Basispunkt. Wenn f eine Überlagerung
ist mit Faser F • := f −1 (∗) über dem Basispunkt, so definieren wir einen simplizialen
Morphismus
L : ΩX • → F •
Eine Schleife ω ∈ ΩX • lässt sich liften nach ˜ω ∈ P Y • , da f Faserung einer Modellkategorie,
sogar eindeutig bis auf Homotopie. Unter dem Morphismus P Y • → Y • wird
˜ω auf einen Simplex abgebildet, der in der Faser von f liegt. Da die Faser diskret
ist, ist das Element nicht nur bis auf Homotopie eindeutig definiert, also ist so ein
simplizialer Morphismus erklärt, den wir Liftungsabbildung L nennen.
Lemma 5.36. Ist f : ˜G• → G • ein Morphismus simplizialer Gruppen, so ist L :
ΩG • → F • ein Gruppenhomomorphismus, wenn wir ΩG • mit der durch G • induzierten
und F • mit der durch ˜G • induzierten Gruppenstruktur versehen.
Beweis. Seien ω, ω ′ ∈ ΩG • und ˜ω, ˜ω ′ ∈ P ˜G • Lifts. Dann ist ˜ω ˜ω ′ ein Lift von ωω ′ und
damit stimmen L(ω)L(ω ′ ) und L(ωω ′ ) in F überein.
Definition 5.37. Ist f : Y • → X • eine Überlagerung von simplizialen Mengen mit
Basispunkt, so definieren wir einen Morphismus
Ωf : ΩY • → ΩX •
durch die universelle Eigenschaft des Faserprodukts über die Abbildung f◦ : P Y • →
P X • . Damit lässt sich f “vervollständigen” zur Fasersequenz
· · · → ΩF • → ΩY •
Ωf
−→ ΩX • L −→ F • → Y •
f
−→ X•
wobei F • die Faser von f über dem Basispunkt von X • bezeichnet.
Lemma 5.38. Ist f : ˜G • → G • eine Überlagerung von zusammenhängenden simplizialen
Gruppen, so liefert der Funktor π 0 auf der Fasersequenz eine exakte Sequenz
von Gruppen
0 → π 1 ( ˜G • , id) → π 1 (G • , id) → F 0 → 0
Beweis. Anwenden von π 0 auf die Fasersequenz liefert zunächst
· · · → π 1 (F • , id) → π 1 ( ˜G • , id) → π 1 (G • , id) → π 0 (F • , id) → π 0 ( ˜G • , id) → π 0 (G • , id)
Allerdings ist f eine Überlagerung, also F • diskret, damit ist π 1 (F • , id) trivial. Weiterhin
sind G • und ˜G • zusammenhängend, also π 0 (G • , id) und π 0 ( ˜G • , id) trivial. Zuletzt ist
noch zu bemerken, dass unter der Adjunktion zwischen Suspension und Schleifenraum
der Morphismus π 1 (f) genau dem Morphismus π 0 (Ωf) entspricht.
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