Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5.2. Simpliziale Objekte
Bemerkung 5.13. Für jede simpliziale Menge X • ist die Morphismenmenge in der
Kategorie der simplizialen Mengen Hom(∆ n , X • ) isomorph zu X n , indem man jedem
Morphismus ϕ : ∆ n → X • das Simplex ϕ(id [n] ) ∈ X n zuordnet. Das ist eine einfache
Konsequenz aus dem Yoneda-Lemma, siehe [Mac71, Kapitel III.2, S. 59]. Damit gibt
es zu jedem Simplex σ ∈ X n genau einen Morphismus ∆ n → X • , den wir ebenfalls
mit σ bezeichnen.
Definition 5.14. Wir definieren für alle n ∈ N Unterobjekte von ∆ n , und zwar für
alle 0 ≤ k ≤ n, die sogenannten k-ten Hörner
Λ n k := das Unterobjekt, welches von allen d j (id [n] ) mit j ≠ k erzeugt wird.
Dabei bedeutet “erzeugt” hier, dass zu einem Simplex σ ∈ Λ n k ⊆ ∆n auch die Simplizes
d j (σ) und s i (σ) in Λ n k liegen sollen (sonst wäre so keine simpliziale Menge definiert).
Weiter definieren wir den Rand von ∆ n als
∂∆ n := das Unterobjekt, welches von allen d j (id [n] ) erzeugt wird.
Damit ist die simpliziale n-Sphäre definiert als
S n := ∆ n /∂∆ n .
Definition 5.15. Sei X • eine zusammenhängende simpliziale Menge mit Basispunkt
∗. Der Pfadkomplex P X • von X • ist definiert als Pullback von
(d 0 ) ∗ : Hom(∆ 1 × ∆ • , X • ) → Hom(∆ 0 × ∆ • , X • ) ≃ X •
mit dem konstanten Morphismus ∗ : ∆ 0 → X • . Sei π : P X • → X • definiert über die
Komposition
P X •
proj
−−→ Hom(∆ 1 × ∆ • , X • ) (d1 ) ∗
−−→ Hom(∆ 0 × ∆ • , X • ) ≃ X • .
Dann ist der Schleifenkomplex von (X • , ∗) definiert als Faser von π über dem Basispunkt
∗, also ΩX • := π −1 (∗).
Das sind Definitionen von [GJ99, S. 32-33].
Bemerkung 5.16. Somit sind die n-Simplizes des Schleifenraums ΩX • genau die
simplizialen Abbildungen ∆ n × ∆ 1 → X • , sodass die Restriktion auf ∆ n × ∂∆ 1 auf ∗
abgebildet wird.
Definition 5.17. Sei X • eine zusammenhängende simpliziale Menge mit Basispunkt
∗. Die (reduzierte) Suspension ΣX • von X • ist definiert als Quotient von X • × ∆ 1
unter der Äquivalenzrelation, die erzeugt wird von (x, σ) ∼ (x ′ , σ) für alle x, x ′ ∈ X •
und σ ∈ Λ 1 0 ∪ Λ 1 1 sowie (∗, σ) ∼ (∗, σ ′ ) für alle σ ∈ ∆ 1 .
Definition 5.18. Sei X • eine simpliziale Menge und |∆ • | das “Standard”-kosimpliziale
Objekt mit |∆ n | = {(x i ) ∈ R n+1 | ∑ n
i=0 x i = 1, x i ≥ 0} dem Standardsimplex und
offensichtlichen Rand- und Entartungsabbildungen. Dann heißt
|X • | := lim
∆ n →X •
|∆ n |
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