Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.1. Der Satz von Matsumoto
Injektion Abb(K Sp
2 (k), A) ↩→ Abb(K M 2 (k), A) und die Identifikationen S ◦ (k × , A) ≃
Abb(K M 2 (k), A) und S(k × , A) ≃ Abb(K Sp
2 (k), A) liefern dadurch eine Injektion
S ◦ (k × , A) ↩→ S(k × , A).
Es ist klar, dass es sich um eine mengentheoretische Inklusion in der gemeinsamen
Obermenge Abb(k × × k × , A) handelt.
Lemma 4.9. Steinberg-Kozykel c ∈ S(k × , A) sind normalisierte 2-Kozykel im Sinne
der Gruppenkohomologie, wie in Definition 2.8. Damit definieren sie zentrale
Erweiterungen A ↩→ ε ↠ k × .
Beweis. Aus c ∈ S(k × , A) ≃ Hom(K Sp
2 (k), A) folgt bereits, dass c die Relationen für
normalisierte 2-Kozykel erfüllt.
Lemma 4.10. Die Kozykel c E = c α zu einer Erweiterung E und einer langen Wurzel
α ∈ Φ sind Steinberg-Kozykel, d.h. c α ∈ S(k × , A). Ist Φ nicht symplektisch, so sind
die Kozykel c α bilinear (c α ∈ S ◦ (k × , A)). Ist Φ symplektisch, so sind die Kozykel c α
bilinear, wenn α keine lange Wurzel ist. Insgesamt ist also
c E ∈ S(k × , A) und für Φ nicht symplektisch sogar c E ∈ S ◦ (k × , A).
Wir werden dieses Lemma in Abschnitt 4.3.1 beweisen, genau genommen den ersten
Teil in Lemma 4.33, die Aussage über Bilinearität in Lemma 4.15 (d).
♦
Satz 4.11 (Matsumoto). Sei k ein unendlicher Körper und G eine einfach zusammenhängende
Chevalley-Gruppe mit Wurzelsystem Φ.
Hält man für G(k) und eine abelsche Gruppe A die Wahl ∆ einfacher Wurzeln und
Isomorphismen x α : G a −→ ∼ U α fest, so liefert die Zuordnung, die jeder zentralen
Erweiterung E von G(k) durch A den Steinberg-Kozykel c E zuordnet, einen Isomorphismus
H 2 (G(k); A) −→ ∼ S(k × , A), falls Φ symplektisch ist, und einen Isomorphismus
H 2 (G(k); A) −→ ∼ S ◦ (k × , A), falls Φ nicht symplektisch ist.
Beweisidee. Die Gruppenstruktur auf H 2 (G(k), A) ist die Baer-Summe, die zwei
Erweiterungen E, E ′ einen Quotienten F =: E + E ′ des Faserprodukts E × G(k) E ′
zuordnet, in dem verschiedene Kopien von A identifiziert werden (siehe Definition 2.1).
Damit werden auch die Lifts der Erzeuger x α von U α in E bzw. E ′ in E × G(k) E ′
identifiziert und damit auch die ˜h α . Daher lässt sich der Kozykel c E c E ′ in E × G(k)
E ′ , also auch in F kürzen zu c F und wir sehen, dass die Abbildung E ↦→ c E ein
Gruppenhomomorphismus ist.
Wenn eine Erweiterung E auf den trivialen Kozykel c E = 1 abgebildet wird, so ist
die Erweiterung bereits trivial, denn dann sind alle Kozykel c α von E auch trivial (wie
wir sehen werden) und damit erfüllt E alle Relationen von G(k), ist also die triviale
Erweiterung.
Es bleibt zu zeigen, dass es zu jedem Steinberg-Kozykel c ∈ S(k × , A) auch eine
zentrale Erweiterung E ∈ H 2 (G(k); A) gibt, sodass c E = c ist. Das werden wir in
Abschnitt 4.3 beweisen, stellen hier aber die grobe Strategie vor:
Man reduziert zunächst die Fälle der Wurzelsysteme B n , F 4 , G 2 auf die Wurzelsysteme
D n+1 , E 6 , D 4 . In Abschnitt 4.3.1 werden einige Eigenschaften für geliftete
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