Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

Konventionen
An gewisse Konventionen der Notation, die auch im Text an den entsprechenden
Stellen erwähnt werden, sei hier nochmal erinnert:
Der Buchstabe k bezeichnet in der Regel einen perfekten Körper, der Buchstabe R
einen Ring. Ringe sind in dieser Arbeit immer kommutative, assoziative Ringe mit 1.
Wir notieren Gruppen, wenn nicht anders angegeben, multiplikativ mit neutralem
Element 1. Linear algebraische Gruppen haben neutrales Element und Basispunkt
Id. Kommutatoren notieren wir [x, y] = xyx −1 y −1 und Konjugation gelegentlich mit
Ad(x)(y) = xyx −1 .
Homotopieklassen [γ t ] von Elementen γ t einer simplizialen Menge mit Basispunkt
sind stets als Homotopieklassen bezüglich den Basispunkt erhaltender Homotopien
(d.h. relativ t = 0) zu verstehen, wenn nicht explizit anders angegeben. Ebenso
bezeichnet das Symbol ≈ stets die Homotopierelation bezüglich Basispunkt-erhaltender
Homotopien. Bei Schleifen bezeichnet ≈ die Homotopierelation für π 1 , also ist ω t ≈
ω ′ t ⇔ [ω t ] = [ω ′ t] ∈ π 1 .
Der Verweis “Matsumoto, 1.1” hinter einem Lemma oder einem Satz verweist auf
den entsprechenden Paragraphen in [Mat69].
Wegweiser
E
λ(U + ) U +
λ( ˜H)
S
G(k)
λ(A)
Λ
Ñ
π
N
ν
N ∗
Ñ
N
A
˜H
ϕ
j
˜H
H
H
Abbildung 10: Wegweiser durch Matsumotos Konstruktion einer Erweiterung E zu
einem vorgegebenen Kozykel c ∈ S(k, A).
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