Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2.3. K-Theorie
Satz 2.29 (Quillen). Für einen endlichen Körper k ist K 2 (k) = 0.
Das ist ein Spezialfall von [Qui72, §12, Theorem 8].
Bemerkung 2.30. Für einen unendlichen Körper k ist K 2 (k) nach dem Satz von
Matsumoto (siehe Kapitel 4) isomorph zu k × ⊗ Z k × /(a ⊗(1 − a)). Das gab Milnor
den Anlass, höhere K-Gruppen für Körper zu definieren. Diese stimmen nicht mit
Quillens höherer K-Theorie aus [Qui72] überein, sind aber in einem gewissen Sinne
der einfachste Teil davon, siehe dazu [Tot92].
Definition 2.31. Sei k ein Körper und T (k × ) := ⊕ ∞
n=0 ⊗n i=1 k × die Tensoralgebra
über den Einheiten, die wir additiv notieren. Dann ist Milnor-K-Theorie definiert als
K M • (k) := T (k × )/〈a ⊗(1 − a)〉,
wobei wir mit 〈a ⊗(1 − a)〉 das von {a ⊗(1 − a) | a ∈ k × } in T (k × ) erzeugte beidseitige
Ideal bezeichnen. Die Relation a ⊗(1 − a) = 0 heißt Steinberg-Relation.
Insbesondere ist
K M 2 (k) = (k × ⊗ k × )/〈a ⊗(1 − a)〉.
Für die Restklasse von a ⊗ b in K M 2 (k) schreiben wir {a, b} (diese Erzeuger von K M 2 (k)
werden auch Steinberg-Symbole genannt).
Diese Definition ist angelehnt an [Mil70, §1, S. 1].
Wir rechnen kurz einige Relationen nach, die aus der Bilinearität und der Steinberg-
Relation für die Erzeuger {a, b} ∈ K M 2 (k) folgen.
Lemma 2.32. In K M 2 (k) gelten für alle a, b ∈ k × :
(a). {a, b} = {a, (1 − a)b} (verallgemeinerte Steinberg-Relation),
(b). {a, b} = −{a, b −1 },
(c). {a, b} = −{a −1 , b},
(d). {a, b} = {a −1 , b −1 }.
Beweis.
(a). Wegen Bilinearität ist {a, (1 − a)b} = {a, (1 − a)} + {a, b}, mit der Steinberg-
Relation ist {a, (1 − a)} + {a, b} = 0 + {a, b}, also {a, b} = {a, (1 − a)b}.
(b). Wegen Bilinearität ist {a, b} + {a, b −1 } = {a, bb −1 } = {a, 1} = 0,
also ist {a, b} = −{a, b −1 }.
(c). Analog zu (b) ist {a, b} + {a −1 , b} = 0, also {a, b} = −{a −1 , b}.
(d). Nach (b) und (c) ist {a, b} = −{a, b −1 } = {a −1 , b −1 }.
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