Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

3.3. Elementare Untergruppe und derivierte Untergruppe
(a). Sei ∆ ′ ⊂ ∆ und W ′ ⊂ W die von den σ α für α ∈ ∆ ′ erzeugte Untergruppe.
Dann gibt es in jeder Nebenklasse σW ′ ∈ W/W ′ einen Repräsentanten σ 0 ∈ σW ′
sodass für alle σ ′ ∈ W ′ gilt: l(σ ′ σ 0 ) = l(σ ′ ) + l(σ 0 ).
(b). Sei β ∈ Φ + und σ, σ ′ ∈ W mit l(σ ′ σ) = l(σ ′ ) + l(σ). Wenn nun σ ′ σβ ∈ Φ + ist,
so auch σβ ∈ Φ + .
(c). Seien g, g ′ ∈ G(k) mit l(ν(g)ν(g ′ )) = l(ν(g)) + l(ν(g ′ )). Dann ist ν(gg ′ ) =
ν(g)ν(g ′ ).
Das ist [Bou68, Chapter 4, §1, Exercise 3), S. 31].
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3.3. Elementare Untergruppe und derivierte Untergruppe
Wir bezeichnen mit D(G) := [G, G] die derivierte Untergruppe, also die von Kommutatoren
erzeugte Untergruppe in G. Dies ist ein Gruppenschema und wir warnen, dass
im Allgemeinen nicht D(G(R)) = D(G)(R) gilt, für einen beliebigen Ring R.
Lemma 3.16. Sei G eine reduktive Gruppe. Dann gibt es für jede Wurzel α ∈ Φ
einen Gruppenisomorphismus x α : G a −→ ∼ U α auf eine abgeschlossene Untergruppe
U α von G, sodass für alle h ∈ H und alle s ∈ k gilt:
hx α (s)h −1 = x α (α(h)s).
Wählt man einen Torus H und solche Isomorphismen x α , so ist G erzeugt von H und
den U α .
Das ist [Spr09, Proposition 8.1.1, S. 132].
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Definition 3.17. Sei G eine reduktive linear algebraische Gruppe mit fest gewähltem
Torus und gewählten Isomorphismen x α . Wir bezeichnen mit E(G) die von den
Wurzeluntergruppen U α für alle α ∈ Φ erzeugte Untergruppe von G. Die Bilder der
Isomorphismen x α : G a → U α heißen Elementarmatrizen und E(G) die elementare
Untergruppe von G.
Bemerkung 3.18. Ist G reduktiv, so ist D(G) halbeinfach und G = R(G) · D(G),
nach [Spr09, 8.1.5]. Ist G halbeinfach, so erzeugen die U α für α ∈ Φ bereits G und
G = D(G), nach [Spr09, 8.1.6]. Wir warnen wiederum davor, dass dies Aussagen über
Gruppenschemata sind, nicht über R-wertige Punkte für einen Ring R.
3.4. Chevalley-Gruppen und K-Theorie
Definition 3.19. Sei G eine glatte, zusammenhängende linear algebraische Gruppe
G über einem Körper k. Die Gruppe G heißt einfach, wenn sie keine nicht-trivialen
Normalteiler hat. Die Gruppe G heißt fast einfach, wenn sie endliches Zentrum Z hat
und G /Z einfach ist. Die Gruppe G heißt Chevalley-Gruppe, wenn sie halbeinfach
und fast einfach ist und ein maximaler Torus k-split ist.
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