Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4. Matsumotos Satz
Lemma 4.32 (Matsumoto, 6.9). Sei E ′ ⊆ E die von λ(˜H ′ ), λ(U ′+ ), {λ β | β ∈ ∆ ′ }
erzeugte Untergruppe. Dann lässt E ′ schon S ′ stabil und operiert effektiv auf S ′ .
Beweis. Es ist nach Definition der Operationen λ klar, dass p(λ ′ (s ′ )) ∈ G ′ (k) für jedes
λ ′ ∈ E ′ und jedes s ′ ∈ S ′ . Wir betrachten nun den Quotienten G(k)/ G ′ (k) und darin
eine beliebige Klasse g. Nach Proposition 3.15, (a) und (c) gibt es in der Nebenklasse
g = G ′ (k)g ein Element g 1 sodass für alle g ′ ∈ G ′ (k) bereits ν(g ′ g 1 ) = ν(g ′ )ν(g 1 ). Wir
wählen ein ñ 1 ∈ Ñ mit ϕ(ñ 1) = ν(g 1 ) und definieren eine Abbildung τ(g 1 , ñ 1 ) : S ′ → S
durch τ(g 1 , ñ 1 )(g ′ , ñ ′ ) := (g ′ g 1 , ñ ′ ñ 1 ). Das Bild von τ(g 1 , ñ 1 ) ist die Bahn von E ′
durch (g 1 , ñ 1 ), welche natürlich von E ′ stabilisiert wird. Für Erzeuger ε ∈ E ′ ist
also ε ◦ τ = τ ◦ ε auf S ′ . Wenn also ein ε ′ ∈ E ′ trivial auf S ′ operiert, so auch auf
τ(g 1 , ñ 1 )(S ′ ), damit also auf jeder Bahn und somit operiert ε ′ überall trivial.
Lemma 4.33 (Matsumoto, 6.10).
(a). Wenn ∆ ′ = {α} ⊂ ∆, so ist die Untergruppe E ′ ⊂ E eine zentrale Erweiterung
von G ′ (k) mit λ(A) und λ ◦ c α ist der Steinberg-Kozykel von E ′ in α.
(b). Die Elemente λ α ∈ E, α ∈ ∆ erfüllen die Relationen (W1) und (W2).
Beweis. Aus Lemma 4.32 wissen wir, dass für ∆ ′ ⊆ ∆ bereits E ′ auf S ′ operiert; nach
Lemma 4.29 wie E auf S für das Wurzelsystem ∆ ′ . Mit Lemma 4.30 folgt dann die
erste Aussage.
Für λ α und λ β können wir annehmen, dass {α, β} entweder ein Rang 2 Wurzelsystem
oder A 1 × A 1 ist, womit die Eigenschaften (W1) und (W2) für λ α , λ β wiederum aus
Lemma 4.30 folgen, schließlich für ganz ∆.
Lemma 4.34 (Matsumoto, 6.11).
(a). Der Isomorphismus λ : ˜H −→ ∼ λ(˜H) lässt sich fortsetzen zu einem Monomorphismus
λ : Ñ ↩→ E mit λ( ˜w α(−1)) = λ α für α ∈ ∆. Der Quotient λ(Ñ)/λ(˜H)
ist isomorph zur Weylgruppe W .
(b). Sei λ σ ∈ λ(Ñ) ein Repräsentant von σ ∈ W . Wenn α und σ(α) positive Wurzeln
sind, so gilt in E: λ σ λ(U α )λ −1
σ = λ(U σ(α) ).
(c). E = ⋃ σ∈W λ(U + )λ(˜H)λ σ λ(U + ) wobei {λ σ | σ ∈ W } ein System von Repräsentanten
von σ ∈ W als λ σ ∈ λ(Ñ) ist.
(d). Der Kern von π : E ↠ G(k) ist nur λ(A). Für jedes α ∈ ∆ ist der Steinberg-
Kozykel der zentralen Erweiterung E von G(k) gleich λ ◦ c α .
Beweis. Nach Lemma 4.29 ist λ(˜H)∩Λ die von den λ 2 α für α ∈ ∆ erzeugte Untergruppe
in Λ. Da die λ α nach Lemma 4.33 die Relationen (W1) und (W2) erfüllen, können wir
Satz 3.10, Lemma 3.11 und Lemma 4.23 anwenden, wonach die von den λ α erzeugte
Gruppe Λ modulo der von den λ 2 α erzeugten Gruppe λ(˜H) ∩ Λ isomorph ist zum
Quotienten Ñ / ˜H = N /H = W .
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