Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2.4. Symplektische K-Theorie
Damit ist auch direkt [a, b] = [a, −a(−a −1 b)] = [a, −a −1 b].
(c). Nach (b) ist [a, −a −1 ] = [a, −a −1 1] = [a, 1], nach (a) ist dies bereits 0.
(d). Da b = −b(−1) für alle b ∈ k × , folgt mit (b) [b, −1] = [b, −b(−1)] = [b, b].
(e). Aus (b) folgt [ab, b] = [ab, −(ab) −1 b] = [ab, −a −1 ]. Damit können wir nun
rechnen:
(schwache Bilinearität)
(d)
(Rechnung in k × )
(vorige Rechnung)
(c)
(schwache Bilinearität)
[a, b 2 ] =[a, b] + [ab, b] − [b, b]
=[a, b] + [ab, b] − [b, −1]
=[a, b] + [ab, b] − [b, −a −1 a]
=[a, b] + [ab, −a −1 ] − [b, −a −1 a]
=[a, b] + [ab, −a −1 ] − [b, −a −1 a] − [a, −a −1 ]
=[a, b] − [b, a]
Womit die Aussage gezeigt ist.
Lemma 2.35. Die Abbildung c u : k × × k × → K Sp
2 (k), (a, b) ↦→ [a, b], der universelle
Kozykel ist ein normalisierter 2-Kozykel im Sinne der Gruppenkohomologie, wie in
Definition 2.8. Damit definiert c u eine zentrale Erweiterung K Sp
2 (k) ↩→ ε ↠ k × , wobei
k × auf K Sp
2 (k) trivial operiert.
Beweis. Schwache Bilinearität in K Sp
2 (k) liefert genau die Bedingung “verschwindendes
Differential” für 2-Kozykel. Normiertheit in K Sp
2 (k) liefert genau Normiertheit von c u
als 2-Kozykel. Die Erweiterung ist ε = K Sp
2 (k) ⋊ cu k × .
Die beiden (zweiten) K-Theorien K M 2 (k) und K Sp
2 (k) hängen eng miteinander zusammen.
Lemma 2.36. Die Quotientenabbildung k × × k × ↠ K M 2 (k) faktorisiert über einen
Homomorphismus
ϕ : K Sp
2 (k) → K M 2 (k), [a, b] ↦→ {a, b}.
Dieses ϕ ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, dessen Kern von den Elementen
der Form [a, b] + [a, c] − [a, bc] für a, b, c ∈ k × erzeugt wird.
Beweis. Zur Wohldefiniertheit sind für k × × k × → K M 2 (k), (a, b) ↦→ {a, b} die Relationen
für K Sp
2 (k) nachzurechnen. Dabei sind die Relationen (1) und (2) nach
universeller Eigenschaft des Tensorproduktes erfüllt. Die anderen Relationen folgen
aus der Steinberg-Relation für K M 2 (k), wir haben sie bereits in Lemma 2.32 gezeigt.
Die Abbildung ϕ ist offensichtlich surjektiv, da alle Erzeuger {a, b} von K M 2 (k) im
Bild liegen. Sie ist ein Gruppenhomomorphismus, da beide Gruppen als Quotienten
der freien abelschen Gruppe über k × × k × präsentierbar sind und ϕ über die Identität
auf k × × k × definiert wurde. Die einzige Relation, die in K M 2 (k) gilt, und in K Sp
2 (k) a
priori nicht erfüllt ist, ist Bilinearität, daher ist klar, dass der Kern erzeugt wird von
allen Elementen der Form [a, b] + [a, c] − [a, bc] für a, b, c ∈ k × .
17