Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
Nun rechnen wir noch
( ) −1
˜w α (1)˜h α (t) ˜w α (1) −1 = ˜w α (1)˜h −α (t) ˜w α (1) −1
) −1
=
(˜hα (−t)˜h α (−1) −1
=˜h α (−1)˜h α (−t) −1
= ˜w α (−1) ˜w α (1) −1 ˜w α (1) ˜w α (−t) −1
= ˜w α (−1) ˜w α (−t) −1
= ˜w −α (1) ˜w −α (t −1 ) −1
=˜h −α (t −1 ) −1
=˜h α (t −1 ).
Die anderen Teilaussagen folgen ähnlich mühelos.
Lemma 4.14 (Geliftete Bruhat-Zerlegung, Matsumoto, 5.3).
(a). Für alle ñ ∈ Ñ ist Ũ+ ñŨ+ ∩ Ñ = {ñ},
(b). Man kann eine Projektion auf
Ñ definieren durch
˜ν : E → Ñ, ∀ũ, ũ′ ∈ Ũ+ ∀ñ ∈ Ñ : ˜ν(ũñũ′ ) := ñ
und es gilt ν ◦ π = π ◦ ˜ν, d.h. ˜ν ist ein Lift der Bruhat-Zerlegung von G(k).
(c). Für alle ũ ∈ Ũ+ und alle ˜g ∈ E ist ˜ν(ũ˜g) = ˜ν(˜g),
für alle ˜h ∈ ˜H und alle ˜g ∈ E ist ˜ν(˜h˜g) = ˜h ˜ν(˜g).
(d). Für alle g ∈ E und alle α ∈ ∆ gibt es t ∈ k sodass ˜g = ũ 1˜x α (t)ñũ mit ũ 1 ∈
Ũ + , ñ = ˜ν(˜g) ∈ Ñ und ũ ∈ Ũ+ , sodass ũ 1 als Produkt von Elementarmatrizen
geschrieben werden kann, ohne die Wurzel α zu verwenden. Wir notieren σ :=
[π(ñ)] ∈ N/T = W , das Element der Weylgruppe, welches durch das Bild von ñ
in G(k) repräsentiert wird. Dann ist
{
˜w α (−1) ˜ν(˜g) falls t = 0 oder σ −1 (α) ∈ Φ + ,
˜ν( ˜w α (−1)˜g) =
˜hα (t −1 ) ˜ν(˜g) falls t ≠ 0 und σ −1 (α) /∈ Φ + .
Beweis.
(a). Wenn n ∈ N, so ist U + n = U + ∩ nU + n −1 von gewissen U β erzeugt. Seien
ñ, ñ ′ ∈ Ñ mit π(ñ) = n, π(ñ′ ) = n ′ ∈ N und ũ, ũ ′ ∈ Ũ+ sodass ñ ′ = ũñũ ′ .
Dann gilt in G(k): n ′ = unu ′ , also n ′ = n, schließlich ñ ′ = ña mit a ∈ A. Es
ist somit a = (ñ −1 ũñ)ũ ′ , was bedeutet, dass π(ũ) = nu ′ n −1 ∈ U + n ist, also
ũ ∈ Ũ+ n = π −1 (U + n ). Nach Lemma 4.4 permutiert Konjugation mit ñ nur die Ũβ ,
die Ũ+ n
erzeugen, also ist ñ −1 Ũ + n ñ ⊂ Ũ+ , schließlich auch a ∈ Ũ+ , also a = Id
(denn Ũ+ ∩ A = π −1 (U + ) ∩ A = {Id}).
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