Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5. Abstrakte Homotopietheorie
5.1. Modellkategorien
In diesem Kapitel wird die Theorie der Modellkategorien im Sinne von Quillen [Qui67]
vorgestellt, wobei wir unter einer Modellkategorie stets das verstehen, was Quillen als
geschlossene Modellkategorie definiert, mit der kleinen Änderung, dass wir die Existenz
von funktoriellen fibranten und kofibranten Faktorisierungen sowie die Existenz aller
kleinen Limiten und Kolimiten fordern. Zur Theorie von Modellkategorien ist [DS95]
eine gelungene Einführung. Als Referenz verwenden wir in diesem Abschnitt [Hir03].
Definition 5.1. Wir betrachten das folgende Diagramm in einer beliebigen Kategorie:
W
ψ
Z
∃ ̂f
g
f
X
Y
ϕ
Für Morphismen ϕ, ψ wie im Diagramm definieren wir: Wenn für jedes Paar f, g der
Morphismus ̂f existiert (sodass das Diagramm kommutiert), so hat ϕ bezüglich ψ die
linke Liftungseigenschaft und ψ bezüglich ϕ die rechte Liftungseigenschaft.
Definition 5.2. Seien f : A → B und g : C → D Morphismen in einer Kategorie.
Wenn es Morphismen A → C → A und B → D → B gibt, sodass das Diagramm
id A
A C A
f g f
B D B
id B
kommutiert, so nennen wir f einen Retrakt von g.
Das ist [Hir03, Definition 7.1.1, S. 108].
Definition 5.3. Eine Modellkategorie ist eine Kategorie M mit drei Klassen von
Morphismen W, C, F ⊂ Mor M (genannt schwache Äquivalenzen, Kofaserungen, Faserungen),
die folgende Axiome erfüllen:
M1 Die Kategorie M ist vollständig und kovollständig, d.h. enthält alle kleinen
Limiten und Kolimiten.
M2 Sind f, g ∈ Mor M sodass g ◦f definiert ist, und sind zwei verschiedene Elemente
aus {f, g, g ◦ f} schwache Äquivalenzen, so ist auch {f, g, g ◦ f} ⊂ W .
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