Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

7.2. Die affine Brown-Gersten-Eigenschaft
ein elementares Quadrat der Zariski-Topologie, wenn es kartesisch ist, U ↩→ X und
V ↩→ X offene Einbettungen sind und X = U ∪ V ist.
Damit lässt sich das Garbenaxiom etwas einfacher schreiben, da
F (X) → F (U) × F (V ) ⇒ F (U × X V )
ein Differenzkern ist, genau dann, wenn ein gewisses Diagramm kartesisch ist:
Lemma 7.5. Ist F eine mengenwertige Prägarbe auf Sm /k, so ist F eine Garbe in
der Zariski-Topologie genau dann, wenn für alle elementaren Quadrate in Sm /k das
Quadrat
F (X)
F (V )
F (U)
F (U × X V )
ein kartesisches Quadrat ist.
Die Abbildungen und die universelle Eigenschaft sind die selben wie im Differenzkern-
Diagramm zuvor.
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Davon wollen wir nun eine homotopietheoretische Version definieren.
Definition 7.6. Sei F eine Prägarbe auf Sm /k mit Werten in simplizialen Mengen.
Dann sagen wir, F hat die Brown-Gersten-Eigenschaft für die Zariski-Topologie, wenn
für alle elementaren Quadrate in Sm /k das Quadrat
F (X)
F (V )
F (U)
F (U × X V )
ein homotopiekartesisches Quadrat (wie in Definition 5.10) ist.
Bemerkung 7.7. Die Eigenschaft, bereits durch gewisse Quadrate vollständig bestimmt
zu sein, teilt sich die Zariski-Topologie mit anderen Topologien auf Sm /k, wie z.B. der
Nisnevich-Topologie, wie in [MV99, Proposition 1.4, S. 96] ausgeführt. Der allgemeine
Formalismus dafür sind cd-Strukturen (cd=completely decomposed), wie in [Voe10]
vorgestellt. Lemma 7.5 für eine beliebige cd-Struktur ist [Voe10, Lemma 2.9] und die
Brown-Gersten-Eigenschaft für eine beliebige cd-Struktur ist [Voe10, Definition 3.3.]
(dort heißt eine simpliziale Prägarbe mit dieser Eigenschaft allerdings flasque, also
welk).
Bemerkung 7.8. Die elementaren Quadrate der Nisnevich-Topologie, sind Quadrate
von der Form
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