Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.1. Singuläre Auflösung von algebraischen Gruppen
Definition 6.6. Sei der Funktor Sing A1
• : PShv(Sm /k) → ∆ op PShv(Sm /k) definiert
durch
Sing A1
• (F ) : U ↦→ F (∆ • k × U).
Das Objekt Sing A1
• (F ) heißt singulärer Komplex von F und Sing A1
• (F )(U) sind simpliziale
Objekte mit den induzierten Rand- und Entartungsabbildungen.
Für eine k-Varietät X definieren wir Sing A1
• (X) := Sing A1
• (Hom(·, X)).
Bemerkung 6.7. Morel und Voevodsky haben die Theorie allgemein für einen Situs mit
Intervall definiert und dann auf den Nisnevich-Situs mit A 1 als Intervall spezialisiert.
Dabei verwenden sie eine andere Definition von Sing A1
• , um den Funktor auch auf
simpliziale Prägarben anwenden zu können - was für simplizial konstante simpliziale
Prägarben aber mit der hier gegebenen Definition übereinstimmt. Auch das Objekt
∆ • ist bei Morel und Voevodsky anders definiert, jedoch ist es über der Basis k mit
dem hier definierten Objekt äquivalent.
Proposition 6.8. Sei G eine linear algebraische Gruppe und R ein kommutativer
Ring mit 1. Eine explizite Beschreibung von π 1 (Sing A1
• (G)(R), Id) ist durch Elemente
von G(R[t]) und G(R[t, s]) gegeben:
π 1 (Sing A1
• (G)(R), Id) =
{M ∈ G(R[t]) | M(0) = M(1) = Id}
{N(1 − t, t) ∼ N(0, t) | N ∈ G(R[t, s]) : N(t, 0) = Id} .
Beweis. Nach dem Lemma von Moore (bzw. Korollar 5.31) müssen wir nur d 0 , d 1 , d 2
und s 0 von G(R[∆ • ]) im simplizialen Grad 2 und d 0 , d 1 im simplizialen Grad 1
berechnen. Dies folgt aus der Beschreibung in Beispiel 6.5. Es ist für N(t, s) ∈ G(R[t, s])
und M(t) ∈ G(R[t]) nämlich
d 0 N(t, s) = (N ◦ d 0 )(t, s) = N(1 − t, t),
d 1 N(t, s) = (N ◦ d 1 )(t, s) = N(0, t),
d 2 N(t, s) = (N ◦ d 2 )(t, s) = N(t, 0),
s 0 M(t) = (M ◦ s 0 )(t) = M(t),
d 0 M(t) = (M ◦ d 0 )(t) = M(1),
d 1 M(t) = (M ◦ d 1 )(t) = M(0).
Es ist diese Beschreibung der Fundamentalgruppe einer linear algebraischen Gruppe,
die wir im Folgenden verwenden werden. An dieser Stelle wollen wir nochmals davor
warnen, diese Fundamentalgruppe mit der étalen Fundamentalgruppe zu verwechseln!
Wir beobachten außerdem noch:
Proposition 6.9. Sei G eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe und R
ein lokaler Ring. Dann ist π 0 (Sing A1
• (G)(R), Id) = 0.
Beweis. Nach Satz 3.30 ist G(R) = E(R), also wird die Gruppe G(R) von Erzeugern
x α (s) mit s ∈ R erzeugt. Dann ist M := x α (ts) ∈ G(R[t]) ein 1-Simplex von
Sing A1
• (G)(R) mit d 0 (M) = x α (0) = Id und d 1 (M) = x α (s). Für beliebige Produkte der
x α (s) sind die entsprechenden Produkte der x α (ts) Simplizes mit der entsprechenden
Eigenschaft. Nach Korollar 5.30 folgt die Behauptung.
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