Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5.1. Modellkategorien
Koprodukt von (X, ∗) und (Y, ∗) in C ∗ auch (X ∨ Y, ∗). Es gibt, wenn das Koprodukt
in C ∗ und das Produkt in C existiert, einen eindeutigen Morphismus in C
X ∨ Y → X × Y
der mit den Projektionen auf X und Y verträglich ist. Den Kokern dieses Morphismus,
sofern existent in C, wollen wir mit X ∧ Y bezeichnen, und nennen dies das Smash-
Produkt von (X, ∗) mit (Y, ∗). Wählt man auf X ×Y den Basispunkt ∗ : pt → ∗ X ×∗ Y ,
so induziert dies auf X ∧ Y einen Basispunkt.
Wir werden Basispunkte in der Notation oft weglassen, wenn klar ist, welche Wahl
wir getroffen haben.
Definition 5.9. Sei M eine Modellkategorie. Dann heißt M eigentliche Modellkategorie,
wenn jeder Pushout einer schwachen Äquivalenz entlang einer Kofaserung wieder
eine schwache Äquivalenz ist und wenn zusätzlich jeder Pullback einer schwachen
Äquivalenz entlang einer Faserung wieder eine schwache Äquivalenz ist.
Das ist [Hir03, Definition 13.1.1., Chapter 13, S. 239]. Eigentlichkeit erlaubt eine
einfache Berechnung bzw. Definition von Homotopielimiten und -kolimiten.
In Abschnitt 7.2 benötigen wir eine homotopietheoretische Abschwächung des
Begriffs “kartesisches Quadrat”, die wir hier schon einführen können.
Definition 5.10. Sei M eine eigentliche Modellkategorie und
W
X
f
Z
g
Y
ein kommutatives Diagramm in M. Dieses Diagramm heißt homotopiekartesisch, wenn
es eine Faktorisierung f = p ◦ i mit i : X → ˜X einer schwachen Äquivalenz und
p : ˜X → Y einer Faserung gibt, derart dass der durch i induzierte Morphismus
i ∗ : W → Z × Y
˜X
eine schwache Äquivalenz ist.
Diese Definition findet sich z.B. in [GJ99, Kapitel II.9, S. 137]. Ein Quadrat ist also
homotopiekartesisch, wenn es durch eine schwach äquivalente fibrante Ersetzung von
f kartesisch wird.
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