Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

3.2. Weylgruppen
Definition 3.9. Wenn G gegeben ist und ein maximaler Torus H gewählt ist, bezeichnen
wir mit N := N G (H) den Normalisator und mit Z G (H) den Zentralisator des
maximalen Torus in G. Die Weylgruppe von G ist dann definiert als W := N/Z G (H).
Satz 3.10. Die Weylgruppe W von G wird erzeugt von σ α := [w α (−1)] ∈ N/Z G (H)
für α ∈ ∆, wenn ∆ ein System einfacher Wurzeln in Φ(G) ist. Die Relationen, die
genügen, um W mit den Erzeugern σ α zu präsentieren, sind (für α, β ∈ ∆)
(W0)
(W2)
σα 2 = id;
⎧
σ α σ β σα −1 = σ β falls βα ∗ = 0;
⎪⎨
σ α σ β σα
−1 = σ β σ α σ −1
β
falls βα ∗ = αβ ∗ = −1;
σ β σ α σ β σα
⎪⎩
−1 = σ α σ β σα −1 σ β falls βα ∗ = −2;
σ β σ α σ β σα
−1 σ −1
β
= σ α σ β σα
−1 σ −1
β
σ ασ −1
β
σ−1 α falls βα ∗ = −3;
Das ist [Spr09, 7.1.9 und 8.3.4]. Die Relationen (W0) entsprechen der Tatsache,
dass W eine Spiegelungsgruppe ist. Die Relationen (W2) heißen Zopf-Relationen. ♦
Analog zur Präsentation der Weylgruppe lässt sich auch der Normalisator des Torus
präsentieren, wenn G über Z definiert ist, also z.B. wenn G eine Chevalley-Gruppe ist
(auch wenn wir das in dieser Arbeit nicht diskutieren werden). Es sei N := N(Z), die
Gruppe der ganzzahligen Punkte von N := N G (H), das ist eine zentrale Erweiterung
von W durch die abelsche Gruppe H := H(Z) ≃ (Z/ 2Z ) r von Ordnung 2 r , wobei r
der Rang von G ist.
Lemma 3.11 (Demazure-Tits). Sei die Gruppe N ′ präsentiert durch Erzeuger w α
und Relationen (W 1), (W 2), (W 3) (für alle α, β ∈ ∆):
(W1)
(W2)
(W3)
h α w β h −1
α = w (−1)βα∗
β
wobei wir h α := wα 2 notieren.;
⎧
w α w β wα −1 = w β falls βα ∗ = 0;
⎪⎨
w α w β wα
−1 = w β w α w −1
β
falls βα ∗ = αβ ∗ = −1;
w β w α w β wα
⎪⎩
−1 = w α w β wα −1 w β falls βα ∗ = −2;
w β w α w β wα
−1 w −1
β
= w α w β wα
−1 w −1
β
w αw −1
β
w−1 α falls βα ∗ = −3;
h 2 α = e.
Die Gruppe N ′ ist zu N isomorph via
N ′ → N , w α ↦→ w α (−1).
Damit ist also N schon durch die gegebenen Erzeuger und Relationen präsentiert.
Der volle Beweis findet sich in [BT65, Théorème 7.2, S. 117].
Beweisidee: Dass N diese Relationen erfüllt, lässt sich durch eine lange Rechnung
zeigen.
Sei nun N ′ die von den Elementen w α unter den Relationen (W 1 − W 3) erzeugte
Gruppe. Diese ist in natürlicher Weise eine Erweiterung von N . Nach Relation (W 1)
ist
w β h α w −1
β
= h α h (−1)βα∗ −1
β
und h β h α h −1
β
= h α h (−1)βα∗ −1
β
,
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