Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.3. Über Homotopieinvarianz instabiler K-Theorie
Proposition 6.15. Sei R ein regulärer Ring und G eine einfach zusammenhängende
Chevalley-Gruppe mit Wurzelsystem Φ von Rang ≥ 2. Dann gibt es für jedes n ∈ N,
für jedes τ ∈ G(R[t 1 , . . . , t n ]) einen Lift ˜τ ∈ St • , der bis auf Multiplikation mit
K 2 (Φ, R[t 1 , . . . , t n ]) eindeutig ist.
Beweis. Seien zwei Faktorisierungen
m∏
∏m ′
x αi (f i (t 1 , . . . , t n )) = τ = x βj (g j (t 1 , . . . , t n ))
i=1
mit α i , β j ∈ Φ und f i , g i ∈ R[t 1 , . . . , t n ] gegeben. Nach Satz 3.27 gibt es stets solche
Faktorisierungen. Wir definieren zwei Elemente von St • :
j=1
˜τ :=
m∏
∏m ′
˜x αi (f i (t 1 , . . . , t n )), ˜τ ′ := ˜x βj (g j (t 1 , . . . , t n )),
i=1
j=1
die offensichtlich beide mit der Projektion St • ↠ G • auf τ abgebildet werden. Nach
Konstruktion liegt ˜τ −1˜τ ′ in der Faser von Id, also
˜τ −1˜τ ′ ∈ Ker(St(Φ, R[t 1 , . . . , t n ]) ↠ G(Φ, R[t 1 , . . . , t n ])) = K 2 (Φ, R[t 1 , . . . , t n ]).
Nun ist ˜τ ′ ∈ ˜τ · K 2 (Φ, R[t 1 , . . . , t n ]).
6.3. Über Homotopieinvarianz instabiler K-Theorie
Definition 6.16. Sei Φ ein Wurzelsystem und R ein Ring. Dann sagen wir, K 2 (Φ, ·)
erfüllt Homotopieinvarianz in i Variablen für R, wenn
K 2 (Φ, R[t 1 , . . . , t i ]) ≃ K 2 (Φ, R).
Wir sagen auch, R sei K 2 (Φ, ·)-regulär, wenn K 2 (Φ, R) Homotopieinvarianz in beliebig
vielen Variablen erfüllt.
In Proposition 6.15 haben wir gesehen, dass dies eine wünschenswerte Eigenschaft
ist.
Satz 6.17 (Quillen, Homotopieinvarianz für Quillen-K-Theorie). Ist R ein regulärer
Ring, dann ist K 2 (R[t 1 , . . . , t i ]) ≃ K 2 (R) für alle i ∈ N.
Das ist [Qui73, Korollar zu Theorem 8, S.38].
♦
Satz 6.18 (van der Kallen). Ist R ein Ring mit dim MaxSpec(R) = d < ∞, so ist
K 2 (A n+d , R) ≃ K 2 (R) für alle n ≥ 3.
Das ist [Kal76, Theorem 1, S. 77].
♦
Korollar 6.19. Sei R ein Ring mit dim MaxSpec(R) = d < ∞. Dann erfüllt
K 2 (A n+d+j , R) für alle n ≥ 3 Homotopieinvarianz in j Variablen.
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