Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2. K-Theorie und Gruppenkohomologie
mit den offensichtlichen Abbildungen a ↦→ (a, 1) bzw. (a, g) ↦→ g und nennen beides
getwistetes semidirektes Produkt. Man beachte, dass die Notation ⋊ c für das getwistete
Produkt leicht verwechselt werden kann mit dem ungetwisteten semidirekten Produkt
⋊ ϕ , wenn ϕ eine Gruppenoperation bezeichnet.
Proposition 2.11. Die in Definition 2.10 definierte binäre Operation · auf A ⋊ c G
erfüllt tatsächlich die Gruppenaxiome.
Beweis. Seien a, b, d ∈ A und f, g, h ∈ G beliebig. Die Paare (a +g.b +c(g, h), gh) sind
Elemente der Menge A × G, da a, g.b, c(g, h) ∈ A und gh ∈ G liegen. Die Verknüpfung
· ist assoziativ, denn
(a, g) · ((b, h) · (d, f)) = (a + g.b + gh.d + g.c(h, f) + c(g, hf), ghf),
((a, g) · (b, h)) · (d, f) = (a + g.b + c(g, h) + gh.d + c(gh, f), ghf)
und mit dem Kozykel-Axiom g.c(h, f) − c(gh, f) + c(g, hf) − c(g, h) = 0 folgt die
Gleichheit der beiden rechten Terme. Das neutrale Element in A ⋊ c G ist (0, 1), denn
mit der Normiertheit von 2-Kozykeln folgt
(a, g) · (0, 1) = (a + g.0 + c(g, 1), g1) = (a, g),
(0, 1) · (a, g) = (0 + 1.a + c(1, g), 1g) = (a, g).
Das Inverse von (a, g) ist gegeben durch (−g −1 .a − g −1 .c(g, g −1 ), g −1 ), denn
(a, g) · (−g −1 .a − g −1 .c(g, g −1 ), g −1 ) = (0, 1),
(−g −1 .a − g −1 .c(g, g −1 ), g −1 ) · (a, g) = (−g −1 .c(g, g −1 ) + c(g −1 , g), 1) = (0, 1),
wobei wir noch g −1 .c(g, g −1 ) = c(g −1 , g) benutzt haben, was aus dem Axiom “verschwindendes
Differential” folgt.
Proposition 2.12. Sei A ↩→ E ↠ G eine Erweiterung und s : G → E ein punktierter
mengentheoretischer Schnitt, d.h. eine Abbildung G → E, die die Identität auf die
Identität abbildet. Dann definiert c(g, h) := s(g)s(h)s(gh) −1 einen normalisierten
2-Kozykel.
Die durch c definierte Erweiterung A ↩→ A ⋊ c G ↠ G ist isomorph zu A ↩→ E ↠
G und der mengentheoretische Schnitt s ′ : G → A ⋊ c G, g ↦→ (0, g) liefert den
ursprünglichen Kozykel c zurück.
Beweis. Die Abbildung E ↠ G bildet das Produkt s(g)s(h)s(gh) −1 auf gh(gh) −1 = 1
ab, wegen Exaktheit von A ↩→ E ↠ G liegt es also schon in A. Die Normalisierung
ist durch die Forderung s(1) = 1 erfüllt und die Bedingung vom verschwindenden
Differential rechnet man in E nach:
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