Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
Typ G 2 , F 4 und B n folgern aus der hier bewiesenen für A n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 . Für
βα ∗ = 0 ist
( )
θα
−1 (˜h γ (u)) = ˜h γ (u)˜h α (u −αγ∗ )˜h β (u −βγ∗ )
θ −1
β
und damit (W2’) erfüllt. Für βα ∗ = αβ ∗ = −1 ist
(θ α θ β θ α ) −1 (˜h γ (t)) = (θ β θ α ) −1 (˜h γ (t)˜h α (t −αγ∗ ))
= θ −1
α (˜h γ (t)˜h β (t −βγ∗ )˜h α (t −αγ∗ )˜h β (t −αγ∗ )
= ˜h γ (t)˜h α (t −αγ∗ )˜h β (t −βγ∗ )˜h α (t −βγ∗ )˜h α (t αγ∗ )˜h β (t −αγ∗ )˜h α (t −γα∗ )
= ˜h γ (t)˜h α (t −αγ∗ −βγ ∗ )˜h β (t −αγ∗ −βγ ∗ )c β (−1, t βγ∗ )
= ˜h γ (t)˜h β (t −αγ∗ −βγ ∗ )˜h α (t −αγ∗ −βγ ∗ )c α (−1, t αγ∗ )
= (θ β θ α θ β ) −1 (˜h γ (t)).
Für βα ∗ = −2 müssen wir (θ α θ β ) 2 (˜h γ (t)) = (θ β θ α ) 2 (˜h γ (t)) zeigen. Dazu betrachten
wir für t ∈ k × die Menge {˜h α (t i )˜h β (t 2j ) | i, j ∈ Z} und stellen fest, dass sie in ˜H eine
Untergruppe bilden, die wir mit ˜H ′ (t) bezeichnen. Diese Gruppe ˜H ′ (t) ist abelsch,
denn nach Lemma 2.40 ist c γ (±t 2i , t 2j ) = 1 für alle i, j ∈ Z und alle γ ∈ ∆ und somit
für alle i, j, k, l ∈ Z
˜hα (t i )˜h β (t 2j )˜h α (t k )˜h β (t 2l ) = ˜h α (t k+i )˜h β (t 2(j+l) ).
Es lassen θ α und θ β die Mengen ˜H ′ (t) und ˜h γ (t)˜H ′ (t) invariant, also
(θ α θ β ) 2 (˜h γ (t)) = ˜h γ (t)˜h ′ 1 und (θ β θ α ) 2 (˜h γ (t)) = ˜h γ (t)˜h ′ 2
mit Elementen ˜h ′ 1, ˜h ′ 2 ∈ ˜H ′ (t). Da ϕ ◦ θ α = Ad(w α (−1)) ◦ ϕ (nach Aussagenteil (b)),
ist ϕ(˜h ′ 1) = ϕ(˜h ′ 2). Nun ist allerdings die Einschränkung von ϕ auf ˜H ′ (t) injektiv, da
ϕ genau die Kommutatoren der ˜h α (t) auf 0 abbildet und ˜H ′ (t) abelsch ist. Also ist
bereits ˜h ′ 1 = ˜h ′ 2 und somit (θ α θ β ) 2 = (θ β θ α ) 2 , also ist auch (W2’) vollständig gezeigt
und damit auch Aussagenteil (d).
4.3.4. Die zentrale Erweiterung des Normalisators
Definition 4.25. Sei Ñ erzeugt von ˜w α für α ∈ ∆ unter den Relationen (W1) und
(W2) und ˜H ⊂ Ñ die von den ˜h α := ( ˜w α ) 2 erzeugte Untergruppe. Sei weiter ˜H die
n Abschnitt 4.3.2 konstruierte Erweiterung von H. Wir lassen Ñ auf ˜H operieren
via ˜w α .(˜h β (t)) := θ α (˜h β (t)) für α ∈ ∆ (das geht nach Lemma 4.24 (d)), und bilden
das semidirekte Produkt N ∗ := ˜H ⋊ Ñ . Wir nennen die kanonische Projektion
p ∗ : N ∗ → Ñ .
Lemma 4.26 (Matsumoto, 6.6).
(a). Es gibt j : ˜H → ˜H sodass für jede einfache Wurzel α ∈ ∆ gilt: j(˜h α ) = ˜h α (−1).
Die Elemente ˜hj(˜h) −1 für ˜h ∈ ˜H bilden einen Normalteiler J N ∗ .
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