Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
Ähnlich zeigen wir (d):
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
W α
t (v)H β t (u)W α
t (v) −1
=W α
t (v) W β
t (u)W β
t (1) −1 W α
t (v) −1
=W α
t (v)W β
t (u)W α
t (v) W α
t (v) −1 W β
t (−1)W α
t (v) −1
≈W σα(β)
t (ηuv −βα∗ ) W σα(β)
t (−ηv −βα∗ )
=W σα(β)
t
(ηuv −βα∗ ) W σα(β)
t
(1) −1 W σα(β)
t
=H σα(β)
t (ηuv −βα∗ )H σα(β)
t (ηv −βα∗ ) −1 .
(1) W σα(β) (ηv −βα∗ ) −1
t
Wir bemerken noch abschließend, dass man (c) auch über (d) beweisen kann, wodurch
sich der Beweis allerdings nicht verkürzt.
Analog zu Lemma 4.13 (g) untersuchen wir W α
t
und W −α
t .
Lemma 6.40. Sei α ∈ Φ beliebig. Dann gelten für alle s ∈ k × :
(a). W α
t (s) ≈ W −α
t (−s −1 ) (homotop relativ t = 0),
(b). H α t (s) ≈ H −α
t (s) −1 (homotop relativ t = 0),
(c). W α
t (1)H α t (s)W α
t (1) −1 ≈ H α t (s −1 ) (homotop relativ t = 0).
Beweis. Für Aussage (a) rechnen wir mit Lemma 6.38 nach:
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
W α
t (s)W −α (−s −1 ) −1
=X α t (s)X −α
t
=X −α
t
=X −α
t
≈X −α
t
= Id .
t
(−s −1 )Xt α (s) Wt
−α (−s −1 ) −1
(−s −1 ) −1 X −α
t
(−s −1 ) −1 W −α
t
(−s −1 ) −1 X −α
t (−s −1 )
(−s −1 )X α t (s)X −α
t
(−s −1 )X α t (s)W −α
t
(−s −1 )Xt α (s) Wt
−α (−s −1 ) −1
(−s −1 ) −1
Damit lässt sich nun leicht Aussage (b) folgern:
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
Ht α (s)Ht
−α (s)
=Wt α (s)W α
t (1) −1 Wt
−α
≈Wt α (s) Wt
−α (1)Wt
−α
≈Wt α (s) Wt α (−s)
= Id .
(s)Wt
−α (1) −1
(s)Wt
−α (1) −1
Schließlich zeigen wir (c):
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