Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5. Abstrakte Homotopietheorie
Korollar 5.31. Die Fundamentalgruppe einer simplizialen Gruppe G • mit neutralem
Element und Basispunkt id lässt sich ausrechnen über Schleifen, d.h. ΩG • , modulo
Homotopien relativ Basispunkt:
π 1 (G • , id) =
{α ∈ G 1 | d 0 α = d 1 α = id}
{d 0 σ ∼ d 1 σ | σ ∈ G 2 : d 2 σ = s 0 id} .
Für eine simpliziale Gruppe G • (oder auch eine topologische Gruppe) gibt es zwei
Operationen auf dem Schleifenraum ΩG • , Hintereinanderausführung und punktweise
Multiplikation. Dass diese in der Fundamentalgruppe übereinstimmen, zeigt eine kurze
Rechnung mit dem folgenden Lemma, das wir später noch benötigen werden:
Lemma 5.32 (Eckmann-Hilton). Sind auf einer Menge M zwei Monoidstrukturen
(M, ◦) und (M, •) gegeben, die übereinander distribuieren, d.h.
(a ◦ b) • (c ◦ d) = (a • c) ◦ (b • d)
erfüllen, so stimmen ◦ und • überein und sind darüber hinaus kommutativ.
Dabei verstehen wir unter einem Monoid hier eine Menge mit assoziativer binärer
Verknüpfung und Einselement für diese Verknüpfung.
Beweis. Seien e ◦ und e • die jeweiligen neutralen Elemente. Dann ist
e • = e • • e • = (e ◦ ◦ e • ) • (e • ◦ e ◦ ),
e ◦ = e ◦ ◦ e ◦ = (e ◦ • e • ) ◦ (e • • e ◦ )
und die beiden rechten Seiten sind nach der Voraussetzung an die zwei Monoidstrukturen
gleich, wir sprechen also nur noch von e = e • = e ◦ . Nun sieht man, abermals
mit der Voraussetzung:
a ◦ b = (a • e) ◦ (e • b) = (a ◦ e) • (e ◦ b) = a • b,
die beiden Operationen ◦ und • sind also identisch.
Damit distribuiert ◦ über sich selbst, also gilt
a ◦ b = (e ◦ a) ◦ (b ◦ e) = (e ◦ b) ◦ (a ◦ e) = b ◦ a.
Das Argument geht auf [EH62, Theorem 4.17, S. 244] zurück. Damit zeigt man z.B.,
dass alle Homotopiegruppen π n (X • , ∗) für n > 1 abelsch sind, indem man zeigt, dass
π n (ΩX • , ∗) für n ≥ 1 stets abelsch ist - wie etwa in [GJ99, Lemma 7.6].
5.4. Fasersequenzen
In diesem Abschnitt wollen wir kurz den Formalismus von Fasersequenzen einführen,
da sich damit die Resultate in den folgenden Kapiteln übersichtlicher einordnen lassen.
Definition 5.33. Sei ϕ : G • → H • eine Kan-Faserung von simplizialen Mengen (also
eine Faserung in der Kan-Modellkategorie). Dann heißt ϕ simpliziale Überlagerung,
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