Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.6. Relationen für ausgezeichnete Schleifen
Beweis. Wir rechnen einmal mit Lemma 6.39 (c):
[H α t (u), H β t (v)]
=H α t (u) H β t (v)H α t (u) −1 H β t (v) −1
≈H α t (u) ( H α t (uv αβ∗ )H α t (v αβ∗ ) −1) −1
=H α t (u)H α t (v αβ∗ )H α t (uv αβ∗ ) −1
= C α t (u, v αβ∗ ),
und ein zweites Mal: [H α t (u), H β t (v)]
=H α t (u)H β t (v)H α t (u) −1 H β t (v) −1
≈H β t (vu βα∗ )H β t (u βα∗ ) H β t (v) −1
= C β t (v, u βα∗ ) −1 .
Damit ist (a) gezeigt.
Nun gibt es zu α ∈ Φ lange Wurzel in einem nicht-symplektischen Wurzelsystem Φ
stets ein β ∈ Φ mit αβ ∗ = −1. Mit Aussage (a) haben wir dann
C α t (u, v) = [H α t (u), H β t (v)].
Damit ist [C α t (u, v)] nun linear in u: C α t (xy, z)
≈[H α t (xy), H β t (z)]
=[C α t (x, y) −1 H α t (x)H α t (y), H β t (z)]
≈ C α t (x, y) −1 C α t (x, y)[H α t (x)H α t (y), H β t (z)]
=[H α t (x)H α t (y), H β t (z)]
=H α t (x)[H α t (y), H β t (z)]H α t (x) −1 [H α t (x), H β t (z)]
≈H α t (x) C α t (y, z)H α t (x) −1 C α t (x, z)
≈H α t (x)H α t (x) −1 C α t (x, z) C α t (y, z)
= C α t (x, z) C α t (y, z).
Diese Rechnung ist symmetrisch in den beiden Faktoren von C α t (u, v), also ist [C α t (u, v)]
bilinear.
Ist das Wurzelsystem Φ möglicherweise symplektisch, so können wir wenigstens
noch eine Abschwächung von Bilinearität zeigen, analog zu Lemma 4.16.
Lemma 6.44. Die ausgezeichneten Schleifen C α t
abgeschwächte Bilinearität:
erfüllen bis auf Homotopie eine
[C α t (x, y)] ◦ [C α t (xy, z)] = [C α t (x, yz)] ◦ [C α t (y, z)].
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