Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2.1. Gruppenerweiterungen
Für alle f, g, h ∈ G gilt
(f.c(g, h)) · c(f, gh) · c(fg, h) −1 · c(f, g) −1
=s(f)s(g)s(h)s(gh) −1 s(f) −1
· s(f)s(gh)s(fgh) −1
· s(fgh)s(h) −1 s(fg) −1
· s(fg)s(g) −1 s(f) −1
=s(f)s(g)s(h)s(gh) −1 s(gh) s(h) −1 s(g) −1 s(f) −1
=s(f)s(g)s(h)s(h) −1 s(g) −1 s(f) −1 = 1.
Die Abbildung ϕ : A ⋊ c G → E definiert man über s : G → E und A ↩→ E als
ϕ : (a, g) ↦→ as(g). Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus:
ϕ((a, g)(b, h)) =ϕ(a + g.b + c(g, h), gh)
=as(g)bs(g) −1 s(g)s(h)s(gh) −1 s(gh)
=as(g)bs(h)
=ϕ(a, g)ϕ(b, h)
und damit offensichtlich ein Morphismus von Erweiterungen.
Die Abbildung ϕ ist injektiv, da für as(g)s(h) −1 b −1 = 1 durch E ↠ G schon
gh −1 = 1, also h = g folgt, dann ab −1 = as(g)s(g) −1 b = 1, also a = b. Zuletzt ist
ϕ surjektiv, da jedes Element e ∈ E sich von s(π(e)) nur um ein Element aus A
unterscheidet, also als e = as(π(e)) geschrieben werden kann.
Proposition 2.13. Die 2-Kozykel zu zwei verschiedenen punktierten mengentheoretischen
Schnitten s : G → E sind kohomolog. Sind umgekehrt zwei 2-Kozykel c, c ′
kohomolog, so gibt es einen punktierten mengentheoretischen Schnitt s ′ : G → A ⋊ c G,
sodass c ′ (g, h) = s ′ (g)s ′ (h)s ′ (gh) −1 . Zwei Kozykel c, c ′ sind gleich, genau dann wenn
es einen Gruppenisomorphismus A ⋊ c G −→ ∼ A ⋊ c′ G gibt, der mit den Identitäten auf
A und G verträglich ist.
Beweis. Sind s und s ′ zwei mengentheoretische Schnitte G → E der Erweiterung
A ↩→ E ↠ G mit s(1) = s ′ (1) = id E , so gibt es für jedes g ∈ G ein β(g) ∈ A mit
s(g) = β(g)s ′ (g). Es ist β(g) − β(gh) + g.β(h) = c ′ (g, h) − c(g, h), wobei c und c ′ die
2-Kozykel zu den Schnitten s und s ′ bezeichnen.
Seien nun c, c ′ kohomolog, also c(g, h) − c ′ (g, h) = g.α(h) − α(gh) + α(g) für eine
punktierte Abbildung α : G → A. Der Schnitt s ′ : G → A ⋊ c G, g ↦→ (−α(g), g) liefert
s ′ (g)s ′ (h)s ′ (gh) −1
=(−α(g), g)(−α(h), h)(−α(gh), gh) −1
=(−α(g) − g.α(h) + c(g, h), gh)((gh) −1 .α(gh), (gh) −1 )
=(c(g, h) − (g.α(h) − α(gh) + α(g)) + c(gh, (gh) −1 ), gh(gh) −1 )
=(c ′ (g, h), 1).
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