Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4. Matsumotos Satz
die Relationen (W1) und (W2) erfüllen, sind w(σ) und ˜w(σ) nach Proposition 3.13
wohldefiniert. Nun ist klar, dass jede Bahn der Gruppe λ(U + α )λ(˜H)ρ(˜H)ρ(U + β ) ein
Element s ∈ S der Form
s = (x α (u)w(σ)x β (v), ˜w(σ))
mit σ ∈ W und u, v ∈ k enthält, sodass wir also S 1 als die Menge aller solchen s
definieren.
Wir zeigen für s ∈ S 1 die äquivalente Aussage λ α ρ −1
β
s = ρ−1 β
λ αs, also
λ α ρ −1
β
(x α(u)w(σ)x β (v), ˜w(σ)) = ρ −1
β λ α (x α (u)w(σ)x β (v), ˜w(σ)) .
Diese Rechnung lässt sich explizit für die Wurzelsysteme A 1 , A 2 und C 2 durchführen.
Bevor wir dies tun, benötigen wir noch eine Proposition und ein Lemma.
Proposition 4.39. Sei Φ ∈ {A 1 , A 2 , C 2 }, einfache Wurzeln α, β ∈ Φ und σ ∈ W (Φ)
gegeben. Dann gelten:
(a). Wenn σ(β) ≠ ±α, dann ist
l(σ α σ) − l(σ) = l(σ α σσ β ) − l(σσ β ),
l(σσ β ) − l(σ) = l(σ α σσ β ) − l(σ α σ).
(b). Wenn σ(β) = ±α, dann ist σσ β = σ α σ.
(c). Wenn σ(β) = −α, dann ist außerdem l(σσ β ) = l(σ) − 1.
Für jede Aussage ist eine Fallunterscheidung für Φ ∈ {A 1 , A 2 , C 2 } sowie für α = β
oder α ≠ β vorzunehmen, dann folgen die Aussage durch explizite Rechnung mit den
Elementen der entsprechenden Weylgruppen aus Beispiel A.1 und Beispiel A.2. ♦
Lemma 4.40 (Matsumoto, 7.2).
(a). Wenn c ∈ S(k × , A), so ist für alle u, v ∈ k × mit 1 − uv ≠ 0:
c(u −1 , (v − u −1 ) −1 ) = c((u − v −1 ) −1 , v −1 ).
(b). Seien α, β ∈ ∆ und σ ∈ W , sodass σ(β) = α. Dann ist für alle v ∈ k, t ∈ k × :
w(σ)x β (v)w(σ) −1 = x α (v) und ˜w(σ)˜h β (t) ˜w(σ) −1 = ˜h α (t).
Beweis. Aussagenteil (a) lässt sich wie im Beweis von Lemma 4.16, Behauptung (e)
beweisen, wenn wir die durch c definierte Erweiterung von Rang 1 betrachten.
Für Aussagenteil (b) machen wir eine Fallunterscheidung. Wir betrachten zunächst
den Fall α = β und σ = id, für beliebige Wurzelsysteme Φ, denn dann ist nichts zu
zeigen. Die anderen Fälle sind der Fall α = β, σ = σ γ σ α σ γ für Φ = C 2 , wobei γ die
andere einfache Wurzel neben α bezeichnet, und der Fall α ≠ β, σ = σ β σ α für Φ = A 2 .
Für die Aussagen w(σ)x β (v)w(σ) −1 = x α (v) lässt sich in beiden Fällen Lemma 4.4,
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