Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
Beweis. Wir setzen in Lemma 6.36 für γ t die Schleife C α t (x, y) ein, für G t den Weg
X β t (a). Damit ist also
C α t (x, y)X β t (a) C α t (x, y) −1 ≈ X β t (a).
Wir benötigen eine homotopietheoretische Fassung von Lemma 4.4 (b).
Lemma 6.38. Für α, β ∈ Φ und u, v ∈ k × ist
(homotop relativ t = 0).
W α
t (v)X β t (u)W α
t (v) −1 ≈ X σα(β)
t (ηuv −βα∗ )
Beweis. In G(k) ist nach Lemma 4.4 (b)
w α (v)x β (u)w α (v) −1 = x σα(β)(ηuv −βα∗ ).
Der Weg W α
t (v)x β (u)W α
t (v) −1 von x β (u) nach w α (v)x β (u)w α (v) −1 definiert eine Homotopie
W α s (v)x β (u)W α s (v) −1
zum konstanten Weg x β (u). Setzt man hier u := tu ′ ein, für u ′ ∈ k × , so erhält man
eine Homotopie
W α s (v)X β t (u)W α s (v) −1
die für s = 0 den Weg X β t (u) liefert, für s = t hingegen den Weg X σα(β)
t (ηuv −βα∗ ).
Für t = 0 ist die Homotopie offensichtlich konstant Id.
Analog zu den Rechenregeln in Lemma 4.13 (a), (b), (d) und (e) rechnen wir nun
einige Eigenschaften von Wt
α nach.
Lemma 6.39. Für α, β ∈ Φ und u, v ∈ k × gelten
(a). W α
t (v)W β
t (u)W α
t (v) −1 ≈ W σα(β)
t (ηuv −βα∗ ) (homotop relativ t = 0).
(b). H α t (v)W β
t (u)H α t (v) −1 ≈ W β
t (uv βα∗ ) (homotop relativ t = 0).
(c). H α t (v)H β t (u)H α t (v) −1 ≈ H β t (uv βα∗ )H β t (v βα∗ ) −1 (homotop relativ t = 0).
(d). Wt α (v)H β t (u)Wt α (v) −1 ≈ H σα(β)
t (ηv −βα∗ u)H σα(β)
t (ηv −βα∗ ) −1 (h.r. t = 0).
wobei η = η(α, β) wie in Lemma 4.4.
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