Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.7. Die Faser über dem Basispunkt
Satz 6.46. Sei α ∈ Φ eine lange Wurzel. Die Abbildung
C α : k × × k × → π 1 (G • , Id),
(a, b) ↦→ [C α t (a, b)]
faktorisiert über einen Gruppenhomomorphismus
C α : K Sp
2 (k) → π 1 (G • , Id).
6.7. Die Faser über dem Basispunkt
Beweis. Die Normiertheit C α t (1, b) = Id = C α t (a, 1) haben wir bereits in Lemma 6.35
gezeigt. Die Relation [C α t (a, b)] = [C α t (a −1 , b −1 )] haben wir in Lemma 6.41 gezeigt.
Schwache Bilinearität haben wir in Lemma 6.44 bewiesen. Die Steinberg-Relation ist
nach Satz 6.45 erfüllt.
Proposition 6.47. Ist Φ kein symplektisches Wurzelsystem, so faktorisiert der Gruppenhomomorphismus
C α : K Sp
2 (k) → π 1 (G • , Id)
aus Satz 6.46 über einen Gruppenhomomorphismus
C α : K M 2 (k) → π 1 (G • , Id).
Beweis. Nach Lemma 6.43 ist die Abbildung
C α : k × × k × → Ω G •
Z-bilinear bis auf Homotopie relativ Basispunkt in Ω G • .
Proposition 6.48. Wenn Φ nicht symplektisch ist, so hängt der Homomorphismus
C α nicht von den getroffenen Wahlen der positiven Wurzeln Φ + oder der Wahl der
langen Wurzel α ∈ Φ ab.
Beweis. Es gibt für nicht-symplektische Wurzelsysteme Φ und zwei lange Wurzeln
α, β ∈ Φ stets ein Element der Weylgruppe σ ∈ W mit σ(α) = β. Wir haben in
Lemma 6.42 (b) gezeigt, dass dann bereits für alle x, y ∈ k × gilt: [C β t (x, y)] = [C t ±α ].
In Lemma 6.42 (a) haben wir gezeigt, dass [C t
±α ] = [C α t ] ist. Damit stimmen die
Homomorphismen C α t , C β t : k × × k × → π 1 (G • , Id) überein.
Satz 6.49. Sei R eine k-Algebra und G eine einfach zusammenhängende Chevalley-
Gruppe mit Wurzelsystem Φ, sodass
K 2 (Φ, R[t]) ≃ K 2 (Φ, R).
Dann liftet jeder Weg in G(R) bis auf freie Homotopie eindeutig nach St • (R) und
homotope Wege liften auf die selbe Homotopieklasse von Wegen in St • (R).
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