Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
Aus Lemma 6.39 (d) folgt mit β := σ α (γ)
W α
t (1)H γ t (u)W α
t (1) −1 ≈ H β t (ηu)H β t (η) −1 ,
für den Fall η = 1 also W α
t (1)H γ t (u)W α
t (1) −1 ≈ H β t (u).
Für den Fall η = −1 rechnen wir mit Lemma 6.39 (d):
W β
t (1) W α
t (1)H γ t (u)W α
t (1) −1 W β
t (1) −1
≈W β
t (1) H β t (−u)H β t (−1) −1 W β
t (1) −1
=W β
t (1)H β t (−u)W β
t (1) −1 W β
t (1)H β t (−1) −1 W β
t (1) −1
=H β t (−u −1 ) H β t (−1) −1
=W β
t (−u −1 )W β
t (1) −1 W β
t (1)W β
t (−1) −1
=W β
t (−u −1 )W β
t (−1) −1
nun folgt mit Lemma 6.40 (a)
W β
t (−u −1 )W β
Insgesamt ist für η ∈ {±1} also
t (−1) −1 ≈ W −β
t
(u)W −β
t (1) −1 = H β t (u).
C γ t (x, y) =H γ t (x)H γ t (y)H γ t (xy) −1
{
Wt α (1) −1 C β t (x, y)Wt α (1) falls η = 1,
≈
Wt α (1) −1 W β
t (1) −1 C −β
t (x, y)W β
t (1)Wt α (1) falls η = −1
{
C β t (x, y) oder
≈
C −β
t (x, y).
Dabei haben wir im letzten Schritt nur noch Lemma 6.37 benutzt.
Analog zu Lemma 4.15 (c,d) schreiben wir Kommutatoren von H α t und H β t als
Schleifen.
Lemma 6.43.
(a). Sind α, β ∈ Φ beliebige Wurzeln, so gilt für alle u, v ∈ k ×
[H α t (u), H β t (v)] ≈ C α t (u, v αβ∗ ) ≈ C β t (v, u βα∗ ) −1 .
(b). Ist α ∈ Φ(G) eine lange Wurzel und Φ(G) nicht symplektisch, so sind die
Schleifen C α t (u, v) für u, v ∈ k × bilinear bis auf Homotopie relativ Basispunkt.
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