Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2.4. Symplektische K-Theorie
Korollar 2.38. Für a, b ∈ k × gilt
[a, b] = [a, −ab] = [−ab, b] = [b −1 , a] und [a 2 , b] = [a, b 2 ].
Beweis. Wir wissen aus Lemma 2.34 (b) bereits [a, b] = [a, −ab]. Da ∨ : [a, b] ↦→
−[b, a] ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt auch ∨([a, b]) = ∨([a, −ab]), d.h.
−[b, a] = −[−ab, a], mithin (durch Umbenennung a ↔ b) [a, b] = [−ab, b]. Damit
rechnen wir nun:
Damit rechnen wir weiter:
[a, b] =[−ab −1 (−b), b]
=[−ab −1 , b]
=[−ab −1 , −(−ab −1 )b]
=[−ab −1 , a]
=[b −1 , a].
(vorige Rechnung)
(Lemma 2.34 (e))
(Lemma 2.34 (e))
[a 2 , b] =[b −1 , a 2 ]
=[b −1 , a] − [a, b −1 ]
=[a, b] − [b, a]
=[a, b 2 ]
Womit dann alles gezeigt ist.
Korollar 2.39. Die Relationen aus Lemma 2.34 und aus Korollar 2.38 gelten auch
für {a, b} ∈ K M 2 (k) und die Abbildung c u : k × × k × → K M 2 (k), (a, b) ↦→ {a, b} ist auch
ein normierter 2-Kozykel. Außerdem gilt in K M 2 (k) noch die Relation
(Schiefsymmetrie)
{a, b} = −{b, a}.
Die Homomorphismen ∨ und ♮ faktorisieren, wenn man sie mit der Quotientenabbildung
ϕ : K Sp
2 (k) ↠ K M 2 (k) aus Lemma 2.36 verknüpft, über K M 2 (k) und es gilt
id = ∨ : K M 2 (k) → K M 2 (k) sowie ·2 = ♮ : K M 2 (k) → K M 2 (k).
Beweis. Mit Bilinearität ist −{b, a} = {b −1 , a} = {a, b}, wie in Korollar 2.38. Dass
ϕ◦∨, ϕ◦♮ : K Sp
2 (k) → K M 2 (k) Bilinearität erfüllen, ist nach Definition von ∨ und ♮ klar.
Somit ist ∨({a, b}) = −{b, a} = {a, b} und ♮({a, b}) = {a, b} − {b, a} = 2{a, b}.
Im Beweis von Matsumotos Satz benötigen wir ein technisches Hilfmittel.
Lemma 2.40. Für a ∈ k × und i, j ∈ Z ist 2{a, a} = 0 und damit auch {a 2i , a j } = 0
in K M 2 (k). Es ist auch [±a 2i , a 2j ] = 0 in K Sp
2 (k).
Beweis. Mit Schiefsymmetrie ist 2{a, a} = {a, a} + {a, a} = {a, a} − {a, a} = 0. Es
ist {a 2i , a j } = 2ij{a, a} wegen Bilinearität, also {a 2i , a j } = 0. Nach Lemma 2.37 ist
[a 2i , a 2j ] das Bild von {a 2i , a j } unter einem Homomorphismus K M 2 (k) → K Sp
2 (k), also
selbst 0. Mit [±a 2i , a 2j ] = [a 2(i+j) , a 2j ] folgt die letzte Behauptung.
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