Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
Diese Konstruktion findet sich z.B. bei Jardine [Jar83] und wird heutzutage häufig
Suslin-Voevodsky-Konstruktion genannt.
Lemma 6.2. Es gibt für n ∈ N einen (nicht-kanonischen) Isomorphismus von Ringen
Z[ ˜∆
/ ( )
n∑
n ] = Z[t 0 , . . . , t n ] t i − 1 −→ ∼ Z[x 1 , . . . , x n ] =: Z[∆ n ]
i=0
t i ↦→
{
1 − ∑ n
i=1 x i i = 0,
x i i > 0,
der einen simplizialen Ring Z[∆ • ] definiert. Der inverse Morphismus ist gegeben durch
lineare Fortsetzung von x i ↦→ t i .
Die angegebene Abbildung auf Erzeugern erfüllt die Relationen in der linken Seite
und die Umkehrabbildung ist offensichtlich. Die Rand- und Entartungen werden durch
Konjugation mit dem Isomorphismus gebildet und erfüllen somit die simplizialen
Identitäten.
♦
Definition 6.3. Für einen perfekten Körper k sei das kosimpliziale Objekt ∆ • k in
Sm /k durch
∆ n k := Spec(Z[∆ n ] ⊗ k)
Z
mit den induzierten Korand- und Koentartungsabbildungen definiert.
Bemerkung 6.4. Das Objekt ∆ n k ist die algebraische Version des topologischen Standardsimplex.
Während der topologische Standardsimplex beschränkt ist, lässt sich
dies algebraisch nicht bewerkstelligen, da die Ungleichung x i ≥ 0 in der Definition des
topologischen Standardsimplex nicht ohne Weiteres algebraisch auszudrücken ist. Das
hindert uns jedoch nicht daran, mit dem Objekt ∆ n k intuitiv so zu arbeiten, als handle
es sich um den Standardsimplex.
Beispiel 6.5. Die Randabbildung d 0 : Z[t, s] → Z[t] ist gegeben durch
Z[t, s] −→ ∼ Z[t 0 , t 1 , t 2 ]/ (t 0 + t 1 + t 2 − 1) d 0
−→ Z[t 0 , t 1 ]/ (t 0 + t 1 − 1) −→ ∼
Z[t],
wobei also f(t, s) ∈ Z[t, s] über den Isomorphismus auf f(t 1 , t 2 ), von der Randabbildung
d 0 auf f(t 0 , t 1 ) und vom Isomorphismus auf f(1 − t, t) ∈ Z[t] abgebildet
wird.
Die Randabbildung d 1 : Z[t, s] → Z[t] bildet f(t, s) auf f(0, t) ab, die Randabbildung
d 2 : Z[t, s] → Z[t] bildet f(t, s) auf f(t, 0) ab.
Die Entartungsabbildung s 0 : Z[t] → Z[t, s] bildet f(t) auf f(s) ab.
Wir bezeichnen mit Sm /k die Kategorie der glatten Schemata über k und mit
PShv(Sm /k) die Kategorie mengenwertiger Prägarben auf Sm /k. Für eine k-Varietät
X ist z.B. auch X ∈ Sm /k und für jedes X ∈ Sm /k ist Hom(·, X) ∈ PShv(Sm /k).
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