Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
Beweis. Sei γ t ∈ G(R[t]), dann gibt es nach Proposition 6.15 verschiedene Lifts ˜γ t ,
die sich um multiplikative Faktoren in K 2 (Φ, R[t]) unterscheiden. Nach Voraussetzung
an Φ und R unterscheiden sie sich also um Faktoren aus K 2 (Φ, R), sodass wir für
einen gegebenen Lift ˜γ t den Lift ˜γ t˜γ 0 −1 bilden können (das entspricht der Wahl eines
kanonischen Basispunkts in St • ). Jeder andere Lift ˜γ t ′ unterscheidet sich nun nur um
ein Element aus K 2 (Φ, R) von ˜γ t˜γ 0 −1 , allerdings ist ˜γ t˜γ 0 −1 ˜γ t(˜γ ′ 0) ′ −1 = Id, also ist der
Lift ˜γ t˜γ 0 −1 eindeutig bis auf freie Homotopie.
Sind nun γ t , γ t ′ ∈ G(R[t]) homotop, so gibt es eine Homotopie τ(t, s) ∈ G(R[t, s])
mit τ(t, 0) = γ t und τ(t, 1 − t) = γ t. ′ Diese Homotopie liftet nach Proposition 6.15 und
der Voraussetzung an K 2 bis auf einen multiplikativen Faktor in K 2 (Φ, R) eindeutig zu
einer Homotopie ˜τ(t, s). Nun ist ˜τ(t, s)˜τ(0, s) −1 ein bis auf freie Homotopie eindeutiger
Lift von τ, der die zuvor konstruierten Lifts ˜γ t und ˜γ ′ t mit ˜γ 0 = Id = ˜γ ′ 0 ineinander
überführt.
Satz 6.50. Sei R eine k-Algebra und G eine einfach zusammenhängende Chevalley-
Gruppe mit Wurzelsystem Φ, sodass
K 2 (Φ, R[t]) ≃ K 2 (Φ, R).
Dann ist eine wohldefinierte Abbildung L : π 1 (G • (R), Id) → K 2 (Φ, R) definiert durch
die Vorschrift, für eine Homotopieklasse von Schleifen [ω t ] einen Repräsentanten ω t auf
einen Weg [˜γ t ] mit ˜γ 0 = Id in St • zu liften und dann auf den Endpunkt ˜γ 1 ∈ K 2 (Φ, R)
abzubilden.
Beweis. Nach Proposition 6.49 ist der Weg ˜γ t ∈ St • für die Homotopieklasse von ω t
bis auf den Basispunkt erhaltende Homotopie eindeutig. Der Punkt ˜γ 1 liegt in der
Faser über Id, also K 2 (Φ, R), welche diskret in St • liegt, und damit ist ˜γ 1 invariant
unter Basispunkt-erhaltender Homotopie des Weges ˜γ t .
Bemerkung 6.51. Die hier betrachtete Abbildung L ist nach Konstruktion der Homomorphismus
π 0 (L) aus Lemma 5.38.
Satz 6.52. Sei Φ ein Wurzelsystem, welches Homotopieinvarianz in einer Variablen
über k erfüllt, also
K 2 (Φ, k[t]) ≃ K 2 (Φ, k).
Dann sind die Homomorphismen C α und L zueinander invers.
Beweis. Seien a, b ∈ k × , also {a, b} ∈ K M 2 (k). Dann bildet L die Homotopieklasse der
Schleife Ct α (a, b) auf c α (a, b) = {a, b} ∈ K M 2 (k) ab.
Sei umgekehrt eine Schleife M(t) = ∏ i∈I Xα i
t (u i ) gegeben. Dann bildet L ihre Homotopieklasse
auf [ ∏ i∈I ˜x α i
(u i )] ab, nach Matsumoto ist das ein Produkt ∏ j∈J c α(a j , b j ),
also ist L([M]) = L([M ′ ]) mit M ′ (t) := ∏ j∈J Cα t (a j , b j ). Nun ist noch zu zeigen, dass
[M] = [M ′ ], also dass M(t) ≈ M ′ (t) ist. Es ist M ′ (t)M(t) −1 eine Schleife in St • , aber
π 1 (St • , Id) = 0 nach Lemma 6.24. Also gibt es eine Homotopie M(t, s) der Schleife
M ′ (t)M(t) −1 auf die konstante Schleife Id. Diese Homotopie liefert eine Homotopie
M(t, s)M(t) von M ′ (t) auf M(t), also [M] = [M ′ ].
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