Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2.2. Universelle zentrale Erweiterungen
2.2. Universelle zentrale Erweiterungen
Definition 2.15. Sei G eine Gruppe. Die derivierte Gruppe D(G) := [G, G] G
ist der von allen Kommutatoren erzeugte Normalteiler. Die Gruppe G heißt perfekt,
wenn sie gleich ihrer derivierten Gruppe D(G) ist. Die Abelianisierung von G ist die
abelsche Gruppe G ab := G/D(G).
In diesem Sinne sind perfekte Gruppen komplementär zu abelschen Gruppen.
Das folgende Kommutator-Lemma wird in diesem Kapitel und in Abschnitt 4.3
nützlich sein.
Lemma 2.16. Sei G eine beliebige Gruppe mit x, y, z ∈ G. Dann gilt für den Kommutator
[x, y] := xyx −1 y −1 in G
[xy, z] = x[y, z]x −1 [x, z], [x, yz] = [x, y]y[x, z]y −1 .
Wenn D(G) im Zentrum von G liegt, so ist bereits
[xy, z] = [x, z][y, z],
[x, yz] = [x, y][x, z].
Beweis. Es ist in G
[xy, z] = xyz(xy) −1 z −1 = xyzy −1 x −1 z −1 = xyzy −1 z −1 x −1 xzx −1 z −1 = x[y, z]x −1 [x, z],
[x, yz] = xyzx −1 (yz) −1 = xyzx −1 z −1 y −1 = xyx −1 y −1 yxzx −1 z −1 y −1 = [x, y]y[x, z]y −1 .
Die andere Aussage folgt durch Vertauschen von [y, z] mit x −1 bzw. von y mit [x, z].
Definition 2.17. Eine zentrale Erweiterung A ↩→ E ↠ G heißt universelle perfekte
zentrale Erweiterung, wenn es zu jeder anderen zentralen Erweiterung B ↩→ E ′ ↠ G
einen eindeutigen Morphismus E → E ′ gibt, dessen Restriktion auf A nach B abbildet
und der mit der Identität auf G verträglich ist.
Gibt es eine universelle perfekte zentrale Erweiterung, so ist diese eindeutig bis
auf eindeutigen Isomorphismus. Man lässt das Adjektiv “perfekt” oft weg, da jede
universellen zentrale Erweiterung perfekt ist.
Bemerkung 2.18. Für G-Moduln A lässt sich der Funktor der G-Koinvarianten A ↦→ A G
als kovarianter, rechtsexakter Funktor ⊗ der Kategorie Z[G]-Mod auffassen:
A G = Z ⊗ A.
Z[G]
Den n-ten Linksderivierten L n (Z ⊗ Z[G] ·) bezeichnet man als Tor Z[G]
n (Z; ·) oder auch
als H n (G; ·), die n-te Gruppenhomologie. Der Funktor Ab → G-Mod, der eine abelsche
Gruppe mit einer triviale G-Operation ausstattet, ist rechtsadjungiert zum Funktor
der G-Koinvarianten.
Wir können H 1 (G; Z) für Z mit der trivialen G-Modul-Struktur explizit berechnen:
Lemma 2.19. Sei G eine Gruppe. Dann ist
H 1 (G; Z) ≃ G ab = G/D(G).
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