Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
wobei eigentlich X = ˜ν( ˜w α (−1)˜g)˜ν(˜g) −1 sein soll, da es ˜g hier nicht gibt, wir jedoch
definieren müssen
{
˜w α (−1) falls ν(w α (−1)g) = w α (−1)ν(g),
X :=
˜hα (t −1 ) falls ν(w α (−1)g) = h α (t −1 )ν(g).
Die von {λ α | α ∈ ∆} erzeugte Gruppe von Automorphismen von S nennen wir Λ.
Schließlich nennen wir die von λ(˜H) ∪ λ(U + ) ∪ Λ erzeugte Gruppe E.
Proposition 4.28. Nach Konstruktion haben wir Isomorphismen
λ : ˜H −→ ∼ λ(˜H) und λ : U + −→ ∼ λ(U + ).
Die Untergruppe A ⊂ ˜H ist als λ(A) ⊂ E zentral in E, denn sie operiert (via λ) nur auf
dem Ñ-Faktor von S, und in Ñ ist A zentral. Somit operiert E auf dem Bahnenraum
von λ(A), wobei der Bahnenraum via p zu G(k) isomorph ist, da jeder Repräsentant
einer Bahn die gleiche G(k)-Komponente hat (wiederum, da λ(A) nur auf dem Ñ-
Faktor von S operiert). Insgesamt operiert also E auf G(k) via Linkstranslationen, was
kanonisch eine Abbildung π : E ↠ G(k) liefert (auf der Identität operieren lassen).
Es fehlt noch ein Bestandteil, um eine zentrale Erweiterung A ↩→ E ↠ G(k) zu
erhalten: Wir müssen zeigen, dass der Kern von π : E ↠ G(k) genau λ(A) (also auch
isomorph zu A) ist. Dann wollen wir außerdem noch sehen, dass der Steinberg-Kozykel
von E mit dem vorgegebenen übereinstimmt. Wir werden diese letzten Behauptungen
beweisen, indem wir die Frage auf den Rang ≤ 2 Fall zurückführen.
4.3.6. Reduktion auf den Fall G von Rang 1 oder 2
Lemma 4.29 (Matsumoto, 6.7).
(a). Für ˜h ∈ ˜H und u ∈ U ist λ(˜h)λ(u)λ(˜h) −1 = λ
(ϕ(˜h)uϕ(˜h) −1 )
.
(b). Setze für alle α ∈ ∆: U + α
:= U + ∩ w α (1)U + w α (1) −1 , dann ist
U + α = w α (1)U + α w α (1) −1 und ∀u ∈ U + α : λ −1
α λ(u)λ α = λ(w α (1)uw α (1) −1 ).
(c). Für jede einfache Wurzel α ∈ ∆ ist λ 2 α = λ(˜h α (−1)).
(d). Für jedes α ∈ ∆ und ˜h ∈ ˜H ist λ −1
α λ(˜h)λ α = λ( ˜w α (1)˜h ˜w α (1) −1 ).
Beweis. Sei (g, ñ) ∈ S beliebig. Dann ist
λ(˜h α (t))λ(u)λ(˜h α (t)) −1 (g, ñ)
=λ(˜h α (t))λ(u)(h α (t) −1 g, ˜h α (t) −1 ñ)
=λ(˜h α (t))(uh α (t) −1 g, ˜h α (t) −1 ñ)
=(h α (t)uh α (t) −1 g, ñ)
=λ(h α (t)uh α (t) −1 )(g, ñ)
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