Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4. Matsumotos Satz
4.3.7. Der Fall G von Rang 1 oder 2
Bemerkung 4.35. Im Falle, dass G bzw. Φ von Rang 1 oder 2 ist, genügt es, Φ ∈
{A 1 , A 2 , C 2 } zu betrachten, da dies die einzigen Wurzelsysteme sind, die als Rang
1 oder 2 Unterwurzelsysteme der von uns nach Lemma 3.38 betrachteten in Frage
kommenden sind.
Um zu zeigen, dass E einfach transitiv auf S operiert, betrachten wir eine andere
transitive Operation auf S und zeigen danach, dass E mit dieser kommutiert.
Definition 4.36. Sei ι : S → S definiert durch ι(g, ñ) := (g −1 , ñ −1 ). Dann ist ι von
Ordnung 2. Setze E ∗ := ιEι, dann operiert E ∗ transitiv auf S. Seien weiter
ρ(˜h) := ιλ(˜h)ι, ρ(u) := ιλ(u)ι, ρ α := ιλ α ι, für ˜h ∈ ˜H, u ∈ U + , α ∈ ∆.
Lemma 4.37 (Matsumoto, 7.1). Seien α, β ∈ ∆ gegeben. Dann gelten:
(a). Die Elemente von λ(˜H) und von λ(U + ) kommutieren mit den Elementen von
E ∗ , die Elemente von ρ(˜H) und von ρ(U + ) kommutieren mit den Elementen von
E.
(b). Seien α, β ∈ ∆. Wenn λ α mit ρ β kommutiert, so kommutiert auch ρ α mit λ β .
(c). Für jedes ε ∈ λ(˜H) ∪ λ(U α + ) ∪ ρ(˜H) ∪ ρ(U + β
) ist (λ−1 α ρ β λ α ρ −1
β
)ε = ε(λ−1 α ρ β λ α ρ −1
β ).
(d). Wenn λ −1
α ρ β λ α ρ −1
β
fix.
ein Element s ∈ S fix lässt, so lässt es auch λ α s und ρ −1
β
s
Beweis. Die Elemente von ρ(˜H) und von ρ(U + ) kommutieren mit den ursprünglichen
Erzeugern von E, denn ιλ(˜h)ι und ιλ(u)ι operieren durch Rechtsmultiplikation auf
S, die ursprünglichen Erzeuger hingegen durch Linksmultiplikation. Entsprechend
operieren die ursprünglichen Erzeuger von ιEι durch Rechtsmultiplikation auf S, die
λ(˜h) und λ(u) hingegen durch Linksmultiplikation. Damit ist (a) gezeigt.
Angenommen, dass λ α ρ β = ρ β λ α , also
λ α ιλ β ι = ιλ β ιλ α
dann können wir durch Links- und Rechtsmultiplikation mit ι
ιλ α ιλ β = λ β ιλ α ι
erhalten, da ι 2 = id ist. Das ist aber genau die Aussage
ρ α λ β = λ β ρ α ,
damit ist (b) gezeigt.
Für (c) betrachten wir zunächst ε ∈ λ(˜H) ∪ λ(U + α ), dann ist
(λ α ρ −1
β
)ε(λ αρ −1 )−1 = λ α ελ −1
β
α
= (ρ −1
β
λ α)ε(ρ −1
β λ α) −1 ,
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