Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.6. Relationen für ausgezeichnete Schleifen
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
W α
t (1)H α t (s)W α
t (1) −1
≈ ( Wt α (1)Ht
−α (s)Wt α (1) −1) −1
≈ ( Ht α (−s)Ht α (−1) −1) −1
=H α t (−1)H α t (−s)
=Wt α (−1)Wt α (1) −1 Wt α (1)Wt α (−s) −1
=Wt α (−1)Wt α (−s) −1
≈W −α
t
=H −α
t
(1)Wt
−α
(s −1 ) −1
≈H α t (s −1 ).
(s −1 ) −1
Lemma 6.41. Die Schleifen C α t (x, y) für α ∈ Φ und x, y ∈ k × erfüllen die Relation
C α t (x, y) ≈ C α t (x −1 , y −1 ) (homotop relativ t = 0 und t = 1).
Beweis. Wir rechnen nach:
(Lemma 6.37)
(Definition C α t )
(Lemma 6.40 (c))
(Definition C α t )
C α t (x, y) = C α t (x, y)Wt α (1)Wt α (1) −1
≈Wt α (1) C α t (x, y)Wt α (1) −1
=Wt α (1)Ht α (x)Ht α (y)Ht α (xy) −1 Wt α (1) −1
≈Ht α (x −1 )Ht α (y −1 )Ht α ((xy) −1 ) −1
= C α t (x −1 , y −1 ).
C α t
Analog zu Lemma 4.15 (a) und (b) untersuchen wir, wie die Schleifenabbildungen
für verschiedene Wurzeln zusammenhängen.
Lemma 6.42. Sei α ∈ Φ beliebig. Dann gelten:
(a). C α t (x, y) ≈ C −α
t (x, y) (relativ t = 0 und t = 1).
(b). Für alle σ ∈ W ist C σ(α)
t (x, y) ≈ C ±α (x, y).
Beweis. Aussage (a) rechnen wir mit Lemma 6.37 und Lemma 6.40 (b) nach:
t
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
C α t (x, y)
=H α t (xy) −1 H α t (xy) C α t (x, y)
≈H α t (xy) −1 C α t (x, y)H α t (xy)
=H α t (xy) −1 H α t (x)H α t (y)H α t (xy) −1 H α t (xy)
=H α t (xy) −1 H α t (x)H α t (y)
≈H −α
t
(xy)H −α
t
= C −α
t (y, x) −1 .
(x) −1 Ht
−α (y) −1
Aussage (b) rechnen wir mit Lemma 6.39 und Lemma 6.37 nach:
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