Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2. K-Theorie und Gruppenkohomologie
2.1. Gruppenerweiterungen
Sei in diesem Abschnitt G eine beliebige Gruppe. Wir nennen eine abelsche Gruppe
A mit G-Linksoperation einen G-Modul und notieren die Operation von g ∈ G auf
a ∈ A mit g.a. Wir notieren Gruppen, wenn nicht anders angegeben, multiplikativ
mit neutralem Element 1.
Definition 2.1. Eine Gruppenerweiterung E einer Gruppe G durch eine abelsche
Gruppe A ist eine kurze exakte Sequenz
A ↩→ E ↠ G
mit einer Gruppe E. Ein Morphismus von Gruppenerweiterungen ϕ : E → E ′ ist ein
kommutierendes Diagramm von Gruppenhomomorphismen:
A
A ′
ϕ| A
E
ϕ
E ′
G
G
id
Die Kategorie aller Erweiterungen einer Gruppe G wollen wir Ext 1 (G, ·) nennen.
Die Baer-Summe von Gruppenerweiterungen A ↩→ E ↠ G und A ↩→ E ′ ↠ G ist
definiert als Quotient des Faserprodukts von E → G mit E ′ → G, bei dem beide
Kopien von A miteinander identifiziert werden:
E ⊕ Baer E ′ := (E × G E ′ )/〈((1 E a, 1 E ′) − (1 E , a1 E ′))〉,
wobei wir mit 〈...〉 den erzeugten Normalteiler bezeichnen. Damit ist E ⊕ Baer E ′ wieder
eine Gruppe. Wir bemerken noch, dass es bei zentralen Erweiterungen E, E ′ auch
möglich ist, die Relation (ea, e ′ ) ∼ (e, ae ′ ) heraus zu teilen, wie in der Literatur üblich.
Bei nicht-zentralen Erweiterungen ist der davon erzeugte Normalteiler allerdings zu
groß.
Diese Definitionen lassen sich verallgemeinern auf n-fache Yoneda-Erweiterungen,
die wir hier aber nicht benötigen.
Bemerkung 2.2. In Definition 2.1 tritt eine Schwierigkeit auf, die wir besonders
hervorheben wollen: Während A eine abelsche Gruppe ist, die wir auch zumeist
additiv notieren werden, sind G und E keineswegs als abelsch vorausgesetzt, werden
dementsprechend auch multiplikativ geschrieben. Über den Monomorphismus A ↩→ E
einer Erweiterung E von G durch A können wir die Elemente von A als Elemente
von E auffassen und werden sie dann multiplikativ schreiben. Von dieser Konvention
gibt es eine wichtige Ausnahme: Wenn die Elemente von A sämtlich mit denen von E
kommutieren, so wird in der Literatur gelegentlich eine gemischt multiplikativ-additive
Notation verwendet.
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