Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

8. Zusammenfassung und Ausblick
Wir haben gesehen, unter der Annahme von Vermutung 6.22, dass die singuläre Auflösung
von einfach zusammenhängender Chevalley-Gruppe und zugehöriger Steinberg-
Gruppe eine simpliziale Überlagerung ist, deren Faser über dem Basispunkt, also
der Kern, die instabile zweite K-Theorie bezügliche des Wurzelsystems ist. Für einen
perfekten Körper konnten wir über eine explizite Abbildung, zeigen dass dies die
Fundamentalgruppe der singulären Auflösung der Chevalley-Gruppe ist. Damit haben
wir eine bereits bekannte Isomorphie neu bewiesen und darüber hinaus alle Schleifen
bis auf Homotopie explizit beschrieben.
Der Beweis der Steinberg-Relation für die Abbildung ist nicht durch eine explizite
Homotopie in Sing A1
• G gegeben, was sehr zu bedauern ist. Es ist naheliegend, dass
sich die Homotopie von Hu und Kriz für simpliziale Gruppen, die A 1 -lokal sind,
explizit aufschreiben lässt. Auf der anderen Seite legt der Satz von Hu und Kriz nahe,
dass die Steinberg-Relation sich für eine große Klasse linear algebraischer Gruppen
verallgemeinern lässt.
Eine andere Möglichkeit, die Steinberg-Relation ohne motivische Homotopietheorie
zu zeigen, wäre, Matsumotos Beweis für die Steinberg-Relation zu kopieren. Dazu
müsste man ein Analogon der Bruhat-Zerlegung für Sing A1
• G beweisen, also eine
Projektion ν : G(k[t]) ↠ N(k[t]) auf den Normalisator konstruieren, die auf G(k) der
klassischen Bruhat-Zerlegung entspricht.
Die Annahme eines perfekten Körpers diente zur einfacheren Definition reduktiver
Gruppen und der Anwendung auf motivische Homotopietheorie. Für Matsumotos
Beweis ist lediglich ein unendlicher Körper vonnöten, wobei dies durch van der Kallen
auch zu Ringen mit genügend vielen Einheiten verallgemeinert werden konnte.
Weiterhin ließe sich die simpliziale Überlagerung (unter entsprechenden Regularitätsvoraussetzungen
an K 2 ) auch definieren für reguläre lokale Ringe anstelle eines
perfekten Körpers.
Um die Klasse untersuchter algebraischer Gruppen zu vergrößern, könnte man
zu einfach zusammenhängenden split halbeinfachen oder split reduktiven Gruppen
übergehen. Für nicht-split reduktive Gruppen ist eine erste Schwierigkeit, die richtige
Definition der elementaren Untergruppe zu finden, wofür die Definition von Petrov und
Stavrova [PS08] für isotrope reduktive Gruppen ein guter Kandidat ist, da Stavrova
und Luzgarev in [LS09] zeigen konnten, dass diese perfekt ist.
Eine Frage, die sich natürlich im Anschluss stellt, ist die nach der Struktur von
π 2 (Sing A1
• G(R)). Nach dem in dieser Arbeit bewiesenen ist diese Gruppe isomorph
zu π 2 (Sing A1
• St(R)), also mit Hurewicz-Homomorphismus zu H 3 (B Sing A1
• St(R), Z),
also der Gruppenhomologie H 3 (Sing A1
• St(R), Z). Nach [Ger73, Corollary 3, S. 367]
ist H 3 (St(R), Z) = K 3 (R), was man also auch instabil, wenigstens für großen Rang
erwarten darf. Damit kommt man zu einer
Vermutung 8.1. Es ist π 2 (Sing A1
• G(Φ, R)) ≃ K 3 (Φ, R) für ein Wurzelsystem Φ mit
hinreichend großem Rang, etwa rk Φ ≥ 3.