Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

2.1. Gruppenerweiterungen
Den n-ten Rechtsderivierten R n Hom Z[G] (Z, ·) bezeichnet man als Ext n Z[G](Z; ·) oder
auch als H n (G; ·), die n-te Gruppenkohomologie. Der Funktor Ab → G-Mod, der eine
abelsche Gruppe mit einer trivialen G-Operation ausstattet, ist linksadjungiert zum
Funktor der G-Invarianten.
Wir können den zweiten Rechtsderivierten, also H 2 (G; A), mit der normalisierten
Bar-Auflösung (siehe [Wei95, Application 6.5.5, S. 179]) explizit berechnen:
Definition 2.8. Sei A ein G-Modul. Ein normalisierter 2-Kozykel ist eine Abbildung
c : G × G → A, sodass für alle f, g, h ∈ G gilt:
c(g, 1) = c(1, g) = 0,
f.c(g, h) − c(fg, h) + c(f, gh) − c(f, g) = 0.
Die erste Eigenschaft ist die Normalisiertheit, die zweite verschwindendes Differential.
Ein normalisierter 2-Kozykel c heißt normalisierter 2-Korand, wenn es eine Abbildung
α : G → A mit α(1) = 0 (normalisiert) gibt, sodass
c(g, h) = g.α(h) − α(gh) + α(g).
Unterscheiden sich zwei Kozykel c, c ′ nur um einen Korand, d.h. c − c ′ ist ein 2-Korand,
so heißen c und c ′ kohomolog. Die abelsche Gruppe aller 2-Kozykel Z 2 (G, A) modulo
der Untergruppe aller 2-Koränder B 2 (G, A) ist die zweite Gruppenkohomologie
H 2 (G, A) = Z 2 (G, A)/B 2 (G, A).
Satz 2.9. Sei G eine Gruppe und A ein G-Modul. Dann klassifiziert H 2 (G; A) die Isomorphieklassen
in Ext 1 (G, A) und die Gruppenstruktur auf der Kohomologie entspricht
der Baer-Summe von Erweiterungen, d.h. jeder Erweiterung in Ext 1 (G, A) lässt sich
ein Element in H 2 (G; A) zuordnen, sodass jedes Element von H 2 (G; A) zu genau einer
Isomorphieklasse korrespondiert. Damit bilden die Isomorphieklassen in Ext 1 (G; A)
eine Menge. Insbesondere klassifiziert H 2 (G; A) für einen trivialen G-Modul A genau
die Isomorphieklassen der zentralen Erweiterungen von G durch A.
Wir werden diesen Satz in drei Propositionen beweisen, da wir die dazu verwendeten
Konstruktionen später im Beweis von Matsumotos Satz wiedersehen werden.
Definition 2.10. Sei A ein G-Modul und c ein normalisierter 2-Kozykel. Dann
definiert c eine Erweiterungen von G durch A als die Menge A ⋊ c G := A × G mit der
Multiplikation
(a, g) · (b, h) := (a + g.b + c(g, h), gh).
Ist die G-Operation auf A trivial, so reduziert sich das auf (a + b + c(g, h), gh). Ist der
Kozykel trivial (konstant 0 ∈ A), so reduziert sich das auf das semidirekte Produkt
A ⋊ G. Eine Erweiterung von G durch A heißt split, wenn sie zum semidirekten
Produkt isomorph ist. Wir bezeichnen mit A ⋊ c G sowohl die Gruppe, die wir soeben
definiert haben, als auch die Erweiterung
A ↩→ A ⋊ c G ↠ G
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