Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

A. Anhang
A.3. Der Fall G = SL 2
Die einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe G = SL 2 ist von Rang 1, mit
Wurzelsystem Φ = A 1 . Damit ist sie von symplektischem Typ, denn A 1 = C 1 . Ein
maximaler split Torus ist durch Diagonalmatrizen mit Einträgen t, t −1 gegeben, eine
Borelsche Untergruppe (und damit eine Wahl positiver Wurzeln) durch die oberen
Dreiecksmatrizen. Die Wurzel-Untergruppe zur einfachen Wurzel {α} = ∆ entspricht
Matrizen mit Einträgen auf der ersten Nebendiagonalen. Die Weylgruppe W ist
die symmetrische Gruppe S 2 , realisierbar durch Permutationsmatrizen. Wählen wir
α = (1, 2), so resultiert daraus (vgl. Diskussion des Lemmas von Whitehead in
Abschnitt 6.4)
( )
( )
1 t
1 0
x α (t) = , x −α (t) = ,
w α (t) =
0 1
)
, h α (t) =
( 0 t
t −1 0
t 1
( t
0
) 0
t −1 ,
A.4. Der Fall G = SL 3
Die einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe G = SL 3 ist von Rang 2, das
Wurzelsystem ist Φ = A 2 . Ein maximaler split Torus ist durch Diagonal-Matrizen
mit Determinante 1 gegeben. Eine Borelsche Untergruppe ist durch die oberen Dreiecksmatrizen
gegeben. Die Wurzel-Untergruppen zu einfachen Wurzeln {α, β} = ∆
entsprechen Matrizen mit Einträgen auf der ersten Nebendiagonalen. Die Weylgruppe
W ist die symmetrische Gruppe S 3 , realisierbar durch Permutationsmatrizen. Wählen
wir α = (1, 2) und β = (2, 3), so erhalten wir Matrixdarstellungen
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 t 0
1 0 0
x α (t) = ⎝0 1 0⎠ , x β (t) = ⎝0 1 t⎠ ,
0 0 1
0 0 1
⎛
1 0
⎞
0
⎛
1 0
⎞
t
x −α (t) = ⎝t 1 0⎠ , x α+β (t) = ⎝0 1 0⎠ ,
0 0 1
0 0 1
⎛
0 t
⎞
0
⎛
1 0
⎞
0
w α (t) = ⎝t 0 0⎠ , w β (t) = ⎝0 0 t⎠ ,
0 0 1
0 t −1 0
⎛ ⎞
⎛ ⎞
t 0 0
1 0 0
h α (t) = ⎝0 t −1 0⎠ , h β (t) = ⎝0 t 0 ⎠ .
0 0 1
0 0 t −1
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