Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5. Abstrakte Homotopietheorie
Lemma 5.39. Ist G • eine zusammenhängende simpliziale Gruppe, so existiert eine
universelle Überlagerung ˜G • und diese trägt eine Gruppenstruktur, sodass die
Überlagerungsabbildung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Beweis. Man erhält dies aus der klassischen Überlagerungstheorie, indem man die
geometrische Realisierung von G • betrachtet, von diesem CW-Komplex die universelle
Überlagerung und anschließende (klassische) singuläre Auflösung, wie in Definition
5.18 und Bemerkung 5.19. Eleganter ist der Zugang von [GJ99, S. 191], wobei bei
beiden Zugängen noch zu zeigen ist, dass es eine kanonische Gruppenstruktur auf der
universellen Überlagerung gibt. Wir werden daher eine explizite Konstruktion in der
Kategorie der simplizialen Gruppen betrachten:
Sei N • der Kern des Projektionshomomorphismus ΩG • ↠ π 1 (G • , id), das ist der Normalteiler
der nullhomotopen Schleifen. Der Gruppenhomomorphismus ΩG • ↩→ P G • ,
verknüpft mit der Inklusion N • ↩→ ΩG • liefert einen Monomorphismus N • ↩→ P G • ,
dessen Kokern wir mit ˜G • bezeichnen. Da π 1 (G • , id) der Kokern von N • ↩→ Ω • ist,
gibt es einen Homomorphismus π 1 (G • , id) ↩→ ˜G • , der mit dem Homomorphismus
ΩG • ↩→ P G • kommutiert. Wir betrachten nun das kommutative Diagramm
id
N • ΩG • π 1 (G • , id)
N • P G • ˜G•
id
0 G • G •
in dem die Zeilen exakt sind nach Konstruktion von N • und ˜G • . Die linke Spalte ist
trivialerweise exakt, die mittlere Spalte ist exakt nach Definition des Schleifenraums
als Kern der Projektion P G • ↠ G • . Damit ist auch die rechte Spalte exakt, nach
einer einfachen Diagrammjagd (Spezialfall des 9er-Lemmas). Also haben wir bewiesen,
dass ˜G • → G • (nach Konstruktion eine Faserung mit diskreter Faser) Kern π 1 (G, id)
hat. Die zugehörige Fasersequenz liefert in den unteren Termen eine exakte Sequenz
0 → π 1 ( ˜G • , id) → π 1 (G • , id) → π 1 (G • , id) → π 0 ( ˜G • ) → 0
in der der mittlere Pfeil π 1 (G • , id) → π 1 (G • , id) ein Isomorphismus ist, also sind
π 1 ( ˜G • , id) und π 0 ( ˜G • ) trivial.
Bemerkung 5.40. Aus der Fasersequenz für eine universelle Überlagerung ˜G • ↠ G •
können wir nun außerdem noch für alle n ≥ 2 exakte Sequenzen
0 → π n ( ˜G • , id) → π n (G • , id) → 0
ablesen, die zeigen, dass die n-ten Homotopiegruppen von ˜G • und G • für n ≥ 2
übereinstimmen.
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