Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4. Matsumotos Satz
Beweis. Man definiert Abbildungen θ α durch θ α (˜h β (t)) := ˜h β (t)˜h α (t αβ∗ ) und rechnen
nach, dass dies zu einem Gruppenhomomorphismus fortsetzt, sogar zu einem Automorphismus.
Die inversen Automorphismen θα
−1 operieren dann durch θα −1 (˜h β (t)) =
˜hβ (t)˜h α (t −αβ∗ ).
Wir stellen noch fest, dass c α (u, v αβ∗ ) bilinear in u, v ist, für alle α, β ∈ ∆.
Behauptung: Die θα
−1 (˜h β (t)) erfüllen die gleichen Relationen wie die ˜h β (t).
θ −1
α
(˜h β (u))θ −1 (˜h β (v))
α
=˜h β (u)˜h α (u −αβ∗ )˜h β (v)˜h α (v −αβ∗ )
=˜h β (u)˜h β (v)˜h α ((uv) −αβ∗ )c α (u −αβ∗ , v αβ∗ )c α (u −αβ∗ , v −αβ∗ )
=c β (u, v)˜h β (uv)˜h α ((uv) −αβ∗ )
=c β (u, v)θα
−1 (˜h β (uv));
[θ −1
α
(˜h β (u)), θ −1 (˜h γ (v))]
α
=c α (u, v βγ∗ )c α (u −αβ∗ , v αγ∗ )c α (u αβ∗ , v −αγ∗ )c α (u −αβ∗ , v −αγ∗ ) 2
=c α (u, v βγ∗ ).
Damit ist klar, dass θ α ein Automorphismus ist und dass θ α auf A die Identität ist.
Um (b) zu zeigen, betrachten wir ϕ(θα
−1 (˜h β (t))) = h β (t)h α (t −αβ∗ ), welches mit
Lemma 4.13, (f) gleich w α (1)h β (t)w α (1) −1 ist.
Für (c) betrachten wir zunächst (mit c(x, y) = c(x, −xy))
θ −1
α (˜h α (t)) = ˜h α (t)˜h α (t −2 ) = c α (t, t −2 )˜h α (t −1 ) = ˜h α (t −1 ),
θ −2
α (˜h β (u)) = ˜h β (u)˜h α (u −αβ∗ )˜h α (u αβ∗ )
Also ist θ −2
α
= ˜h β (u)c α (u −αβ∗ , u αβ∗ ) = ˜h β (u)c α (u −αβ∗ , −1)
= ˜h β (u)c α (−1, u αβ∗ ) = c α (−1, u αβ∗ )˜h β (u)
= ˜h α (−1)˜h β (u)˜h α (−1) −1˜hβ (u) −1˜hβ (u) = ˜h α (−1)˜h β (u)˜h α (−1) −1 .
= θ 2 α = Ad(˜h α (−1)) und somit gilt
(W1)
(W3)
Ad(˜h α (−1))(θ β (Ad(˜h α (−1))(˜h γ (u)))) = θ (−1)βα∗
β
(˜h γ (u))
=⇒ θ 2 α ◦ θ β ◦ θ 2 α = θ (−1)βα∗
β
.
Ad(˜h α (−1))(Ad(˜h α (−1))(˜h β (u))) = ˜h β (u)
=⇒ θ 4 α = id .
Für (W2) muss man noch etwas arbeiten, wir zeigen äquivalent (W2’). Der Fall
βα ∗ = −3 tritt in den von uns betrachteten Wurzelsystemen nicht auf, wenn wir die
Einbettungen aus Lemma 3.38 verwenden und die Aussage für Wurzelsysteme vom
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