Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.6. Relationen für ausgezeichnete Schleifen
Definition 6.33. Wir wollen von nun an die guten Wege H α t (s) ausgezeichnete Wege
nennen und mit ausgezeichneten Schleifen C α t (x, y) stets gute Schleifen bezüglich
ausgezeichneter Wege meinen, also
C α t (x, y) := H α t (x)H α t (y)H α t (xy) −1 .
Beispiel 6.34. Wenn wir in der Gruppe SL 2 , also im Wurzelsystem A 1 wie in Abschnitt
A.3 die x α (s) und die Ht α (s) wie in Beispiel 6.27 berechnen, so ergibt sich für
C α t (x, y) die Matrix
( ) 1 0
C α t (x, y) = + t(t 2 (1 − x)(1 − y)
− 1) D
0 1
x 2 t α (x, y)
y
( )
xt(t
mit Dt α (x, y) :=
2 − 1)(t 2 − 2)(1 − x) −yx 2 (t 2 − 2) ((t 2 − 1) 2 (1 − x) + x)
(t 2 − 1) 2 (1 − x) − 1 −xyt(t 2 − 1)(t 2 ,
− 2)(1 − x)
an der man einige Eigenschaften der guten Schleifen direkt ablesen kann.
6.6. Relationen für ausgezeichnete Schleifen
Wie im vorigen Abschnitt bereits festgestellt, sind die ausgezeichneten Schleifen
normiert.
Lemma 6.35. Es ist C α t (x, 1) = Id = C α t (1, y) für alle x, y ∈ k × .
Beweis. Nach Definition von C α t
ist dies bereits klar:
C α t (x, 1) = H α t (x)H α t (1)H α t (x) −1 = H α t (x)H α t (x) −1 = Id,
C α t (1, y) = H α t (1)H α t (y)H α t (y) −1 = H α t (y)H α t (y) −1 = Id .
Lemma 6.36 (Konjugationslemma). Seien γ t und G t Wege in G mit γ 1 = Id und
G 0 = Id. Dann ist Konjugation mit γ t auf G t bis auf Homotopie relativ t = 0 trivial,
d.h.
γ t G t γt −1 ≈ G t .
Beweis. Die Homotopie ist gegeben durch
γ 1−s G t γ −1
1−s,
denn für s = 0 ist dies G t , für s = 1 − t ist es γ t G t γt
−1
γ 1−s γ1−s −1 = Id.
und für t = 0 ist es
In Matsumotos Beweis wird oft verwendet, dass die Steinberg-Kozykel in einer
zentralen Untergruppe der Erweiterung liegen. Ein homotopietheoretisches Analogon
wird uns nützlich sein.
Korollar 6.37. Die ausgezeichneten Schleifen C α t (x, y) für x, y ∈ k × sind bis auf
Homotopie relativ Id zentral in der von den X β t erzeugten Untergruppe von G • , d.h.
X β t (a) C α t (x, y)X β t (a) −1 ≈ C α t (x, y).
85