Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4. Matsumotos Satz
4.1. Der Satz von Matsumoto
Wir führen hier zunächst die Objekte ein, die im Satz von Matsumoto eine Rolle
spielen. Dann stellen wir den Satz vor und geben eine grobe Beweisidee, die dann im
folgenden Kapitel ausführlich ausgeführt wird.
Sei G eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe über einem perfekten
Körper k und G(k) die Gruppe der k-rationalen Punkte. Wir wählen einen maximalen
Torus H und bezeichnen mit Φ := Φ(G) das Wurzelsystem, mit Φ + eine feste Wahl
positiver Wurzeln, mit ∆ ⊆ Φ + einfache Wurzeln und mit x α : G a → U α eine feste
Wahl von Erzeugern von G.
Definition 4.1. Sei A ↩→ E π ↠ G(k) eine zentrale Erweiterung von G(k) durch A.
Dann liften Erzeuger x k α : k → U α (k) der Wurzeluntergruppen auf E zu Isomorphismen
˜x α : k → Ũα , wobei Ũα = π −1 (U α ) ist. Setze für u ∈ k ×
˜w α (u) := ˜x α (u)˜x −α (−u −1 )˜x α (u), ˜hα (u) := ˜w α (u) ˜w α (1) −1 ,
dadurch sind Homomorphismen ˜w α : k × → Ñ und ˜h α : k × → ˜H definiert, wobei
wieder Ñ = π−1 (N) und ˜H = π −1 (H) ist. Jede Wurzel α ∈ Φ definiert eine Abbildung
c α : k × × k × → E:
c α (s, t) := ˜h α (s)˜h α (t)˜h α (st) −1 .
Dies ist eigentlich eine Abbildung nach A, denn das Bild in G(k) ist bereits trivial.
Lemma 4.2. Die Lifts der Erzeuger erhält man, indem man die Erzeuger zur universellen
zentralen Erweiterung liftet wie in Definition 3.31 und dann auf die gegebene
zentrale Erweiterung projiziert.
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Definition 4.3. Sei U ± := ∏ α∈Φ ± U α und entsprechend
Ũ + := ∏
α∈Φ + Ũ α ,
Ũ − := ∏
α∈Φ − Ũ α .
Für n ∈ N definieren wir U + n := U + ∩ nU + n −1 und Ũ+ n := π −1 (U + n ).
Zum Rechnen in der Erweiterung ist es unerlässlich, die Operation der Weylgruppe
auf der Erweiterung zu verstehen. Dabei hilft uns das folgende Lemma.
Lemma 4.4 (Steinberg; Matsumoto, 5.1).
(a). Der Homomorphismus π : E ↠ G(k) induziert einen Isomorphismus Ũ+ −→ ∼ U +
(sowie Ũ− −→ ∼ U − ).
(b). Sei σ α ∈ W die zur Wurzel α ∈ Φ assoziierte Spiegelung an der Normalen zu α,
dann ist für alle α, β ∈ Φ:
∀t ∈ k × ∀u ∈ k ∃η ∈ {−1, +1} : ˜w α (t)˜x β (u) ˜w α (t) −1 = ˜x σα(β)(ηt −βα∗ u).