Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5. Abstrakte Homotopietheorie
5.2. Simpliziale Objekte
In diesem Kapitel wird die Theorie simplizialer Mengen, wie etwa in [May92] oder
[GJ99] ausgeführt, kurz vorgestellt, sofern wir sie benötigen.
Definition 5.11. Die Kategorie der endlichen Ordinalzahlen ∆ ist definiert als
Ob(∆) := {[n] | n ∈ N} mit der Notation [n] := {0, . . . , n}, und
Hom ∆ ([n], [m]) := {f : {0, . . . , n} → {0, . . . , m} | f monoton}.
Dabei heißt eine Abbildung monoton, wenn für alle i ≤ j stets f(i) ≤ f(j) ist.
Die monotonen Abbildungen werden von speziellen monotonen Abbildungen unter
Verknüpfung erzeugt, den Korandabbildungen d i : [n − 1] → [n] für 0 ≤ i ≤ n
{
d i k, k < i,
: k ↦→
k + 1, k ≥ i
und den Koentartungsabbildungen s j : [n + 1] → [n] für 0 ≤ j ≤ n
{
s j k, k ≤ j,
: k ↦→
k − 1, k > j.
Sie erfüllen die kosimplizialen Identitäten (die man leicht nachrechnet):
⎧
d j d i = d i d j−1 , i < j,
⎪⎨ s j d i = d i s j−1 , i < j,
s j d j = 1 = s j d j+1 ,
s j d i = d i−1 s j , i > j + 1,
⎪⎩
s j s i = s i s j+1 , i ≤ j.
Ein kosimpliziales Objekt X • in einer Kategorie C ist ein Funktor X : ∆ → C.
Äquivalent kann man ein System Objekten X n ∈ C und Morphismen d i , s j in C
spezifizieren, die die kosimplizialen Identitäten erfüllen. Ein simpliziales Objekt Y • in
einer Kategorie C ist ein Funktor Y : ∆ op → C. Äquivalent kann man ein System von
Objekten Y n ∈ C sowie Morphismen d i , s j in C (genannt Ränder und Entartungen)
spezifizieren, die die simplizialen Identitäten erfüllen, die den kosimplizialen Identitäten
in C op entsprechen.
Morphismen von (ko)simplizialen Objekten sind natürliche Transformationen der
entsprechenden Funktoren oder, äquivalent ausgedrückt, Systeme von Morphismen,
die mit den (ko)simplizialen Identitäten verträglich sind.
Definition 5.12. In der Kategorie der Mengen definieren wir für jedes n ∈ N ein
simpliziales Objekt
∆ n := Hom(·, [n]) : ∆ op → Set, den n-ten Standardsimplex.
Dieser trägt einen natürlichen Basispunkt als id [0] ∈ ∆ 0 .
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