Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
Fall 2: ν(w α (−1)g) = h α (t −1 )ν(g), dann ist
also
ν(w α (1)h β (s)w α (−1)g) = h α (t −1 s αβ∗ ) −1 ν(h β (s)w α (−1)g)
= h α (t −1 s αβ∗ )h β (s)h α (t −1 )ν(g),
λ −1
α λ(˜h β (s))λ α (g, ñ) = (w α (1)h β (s)w α (−1)g, ˜h α (t −1 s αβ∗ ) −1˜hβ (s)˜h α (t −1 )ñ).
In ˜H gilt nach Lemma 4.13 (e)
˜hβ (s −1 )˜h α (t −1 s αβ∗ )˜h β (s −1 ) −1 = ˜h α (s αβ∗ t −1 s −αβ∗ )˜h α (s −αβ∗ ).
Damit berechnen wir
also auch
und es folgt endlich
˜hα (t −1 s αβ∗ ) −1 = ˜h β (s −1 ) −1˜hα (s −αβ∗ )˜h α (t −1 ) −1˜hβ (s −1 ),
˜hα (t −1 s αβ∗ ) −1˜hβ (s)˜h α (t −1 )
=˜h β (s −1 ) −1˜hα (s −αβ∗ )˜h α (t −1 ) −1˜hβ (s −1 )˜h β (s)˜h α (t −1 )
=˜h β (s)c β (s, s −1 ) −1˜hα (s −αβ∗ )˜h α (t −1 ) −1 c β (s, s −1 )˜h α (t −1 )
=˜h β (s)˜h α (s −αβ∗ )˜h α (t −1 ) −1˜hα (t −1 )
=˜h β (s)˜h α (s −αβ∗ )
= ˜w α (1)˜h β (s) ˜w α (−1)
λ −1
α λ(˜h β (s))λ α (g, ñ) = (w α (1)h β (s)w α (−1)g, ˜w α (1)˜h β (s) ˜w α (−1)ñ).
Lemma 4.30 (Matsumoto, 6.8).
(a). Sei G von Rang 1. Dann ist E eine zentrale Erweiterung von G(k) durch λ(A)
und der Steinberg-Kozykel c E von E ist bereits λ ◦ c.
(b). Sei G von Rang 2. Dann erfüllen λ α , λ β bereits (W1) und (W2).
Dieses Lemma werden wir erst in Abschnitt 4.3.7 beweisen.
Definition 4.31. Sei ∆ ′ ⊂ ∆ ein Unterwurzelsystem und G ′ (k) ⊂ G(k) die Untergruppe,
die von {x α (t) | t ∈ k, ±α ∈ ∆ ′ } erzeugt wird. Dann legen wir folgende
Bezeichnungen fest:
U ′+ := G ′ (k) ∩ U + , H ′ := G ′ (k) ∩ H, N ′ := G ′ (k) ∩ N,
S ′ := p −1 (G ′ (k)), ˜H′ := ϕ −1 (H ′ ), Ñ ′ := ϕ −1 (N ′ ).
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