Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
Beweis. Zunächst stellen wir fest, dass
[C α t (a, b)] ◦ [C α t (c, d)] = [C α t (a, b) · C α t (c, d)],
da zwei übereinander distribuierende Monoide (hier: (π 1 , ·) und (π 1 , ◦), also π 1 (G • ) mit
Multiplikation und mit Verkettung) übereinstimmen, wie wir in Lemma 5.32 gezeigt
haben.
(Definition C α t )
(Kürzen)
(Definition C α t (y, z))
(mit Lemma 6.37)
(Definition C α t (x, yz))
C α t (x, y) C α t (xy, z)
=Ht α (x)Ht α (y)Ht α (xy) −1 Ht α (xy)Ht α (z)Ht α (xyz) −1
=Ht α (x)Ht α (y)Ht α (z)Ht α (xyz) −1
=Ht α (x) C α t (y, z)Ht α (yz)Ht α (xyz) −1
≈Ht α (x)Ht α (yz)Ht α (xyz) −1 C α t (y, z)
= C α t (x, yz) C α t (y, z).
Nun können wir für die Homotopieklasse mit Basispunkt folgern:
(· = ◦)
(vorige Betrachtung)
=[C α t (x, y)] ◦ [C α t (xy, z)]
=[C α t (x, y) C α t (xy, z)]
=[C α t (x, yz) C α t (y, z)]
=[C α t (x, yz)] ◦ [C α t (y, z)].
Satz 6.45. Die Morphismen C α t : G m ∧ G m → Ω G • für α ∈ Φ erfüllen die Steinberg-
Relation bis auf Homotopie relativ Basispunkt, d.h. für alle x ∈ k × mit x ≠ 1 ist
C α t (x, 1 − x) ≈ Id (homotop relativ t = 0 und t = 1).
Der Beweis dieses Satzes wird erst im nächsten Kapitel in Form von Korollar 7.15
gegeben, da wir hierzu einen allgemeinen Satz aus der A 1 -lokalen “motivischen” Homotopietheorie
heranziehen werden. Um Matsumotos Beweis direkt zu kopieren, wäre
eine Bruhat-Zerlegung auf G • vonnöten gewesen, die dem Wissen des Autors nach
noch nicht untersucht wurde.
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